Задача миллионеров-социалистов

Задача миллионеров-социалистов (англ. Socialist Millionaires' Problem, SMP, Tierce problem) — криптографическая задача, в которой два миллионера хотят выяснить, равны ли их состояния, не разглашая точные суммы. Решение этой задачи используется в качестве криптографического протокола, который позволяет двум сторонам проверить подлинность удаленного участника с помощью общего секрета, избегая атаки «человек посередине», без необходимости сравнивать вручную отпечатки открытого ключа через другой канал.

Впервые задача безопасного многостороннего вычисления была поднята Эндрю Яо в 1982 году^[1]. Два миллионера, Алиса и Боб, хотят выяснить, кто же из них богаче, при этом они не хотят разглашать точную сумму своего благосостояния. Яо предложил в своей статье оригинальный способ решения задачи, получившей впоследствии название «Задача миллионеров Яо^[англ.]». В 1996 году в работе Маркуса Якобссона и Моти Юнга частный случай, в котором Алиса и Боб хотят выяснить, равны ли их состояния, был назван задачей миллионеров-социалистов^[2]. Другой вариант названия — «Tierce problem» (tierce — французская игра на ставках): подразумевается, что два игрока хотят выяснить, одинаковая ли у них комбинация ставок^[3].

Эффективное решение задачи миллионеров-социалистов было предложено в 2001 году в работе^[3] Фабрис Будо, Берри Шонмейкерса и Жака Траоре^[4]. Оно было реализовано в протоколе OTR (Off-the record), после того как в 2007 году Оливер Гоффарт опубликовал модуль mod_otr для сервера ejabberd, позволяющий автоматически проводить атаку типа «человек посередине» на пользователей OTR, не проверяющих отпечатки открытых ключей друг друга^[4].

Алиса и Боб знают секреты ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ соответственно.

Свойства, которые должны присутствовать в протоколе взаимодействия^[5]:

• Отсутствие утечки информации: если предположить, что Алиса и Боб добросовестно следуют протоколу, они не должны знать ничего кроме того, совпадают их секреты или нет.
• Конфиденциальность: никто другой не должен узнать секреты Алисы и Боба. Активный злоумышленник, способный произвольно вмешиваться в общение Алисы и Боба, должен узнать не больше, чем пассивный злоумышленник.
• Безопасность: ни Алиса, ни Боб не должны быть обмануты. Если кто-то из них не следует протоколу, он по-прежнему должен узнать секрет собеседника только при совпадении ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$.
• Простота: протокол должен быть простым в реализации и понятным, то есть Алиса и Боб не должны тратить большое количество времени, энергии и денег, чтобы использовать протокол.
• Удаленность: Алиса и Боб не должны присутствовать физически в одном и том же месте, чтобы выяснить, совпадают ли секреты.

Решение задачи может быть представлено в наглядном виде, без криптографии.

Ситуация: Сотрудник высказал жалобу по поводу деликатного вопроса Алисе, менеджеру компании, и попросил сохранить анонимность его личности. Некоторое время спустя Боб, другой менеджер, сказал Алисе, что кто-то пожаловался ему, также попросив сохранить конфеденциальность. Алиса и Боб хотят определить, был ли это один и тот же человек, без разглашения имен.

Чашки

Для этого способа требуется, чтобы кандидатов было не слишком много, допустим, двадцать. Алиса и Боб должны взять двадцать одинаковых контейнеров, например, одноразовые чашки, наклеить на каждую чашку этикетку с именем (по одной на кандидата). Алиса должна положить сложенный листок бумаги со словом «да» в чашку человека, который жаловался и листки со словом «нет» в остальные девятнадцать чашек. Боб должен сделать то же самое. Затем они должны снять этикетки и переставить чашки в случайном порядке. Если в одной из чашек два листка со словом «да», значит, им жаловался один и тот же человек^[5].

Колода карт

Этот способ подходит для случаев, когда список кандидатов велик, либо не определён. Здесь используется тот факт, что количество игральных карт в обычной колоде вдвое превышает количество букв в латинском алфавите. Колоду из 52 карт нужно разделить по цветам на две колоды по 26 карт. Затем перемешать каждую колоду и положить на стол рубашкой вверх. Всего нужно проделать 26 итераций. На ${\displaystyle i}$-й итерации Алиса снимает верхнюю карту с каждой колоды, складывает их лицом к лицу, и переворачивает так, чтобы карта из красной колоды была сверху. Дальше она прячет карты за спину и переворачивает, если в имени сотрудника, который жаловался, есть ${\displaystyle i}$-я буква в алфавите. После этого она должна дать карты Бобу, который также должен спрятать карты за спину, перевернуть, если в имени есть ${\displaystyle i}$-я буква и затем положить на стол. Процедуру нужно повторить ещё ${\displaystyle 26-i}$ раз. После этого карты нужно сложить в одну стопку и перемешать. Красная карта лицом вверх сигнализирует о том, что секреты не совпадают^[5].

Исходные данные

• ${\displaystyle q}$ — большое простое число, по модулю которого производятся все вычисления
• ${\displaystyle x,y}$, секреты Алисы и Боба соответственно
• ${\displaystyle g_{1}}$- первый генератор

Требуется выяснить, совпадают ли секреты Алисы и Боба, ${\displaystyle x=y}$.

Создание генераторов

• Алиса выбирает число ${\displaystyle a_{2}}$, Боб выбирает ${\displaystyle b_{2}}$. Затем они обмениваются ${\displaystyle g_{1}^{a_{2}}}$и ${\displaystyle g_{1}^{b_{2}}}$(проверив, что они не равны 1) и оба вычисляют ${\displaystyle g_{2}=g_{1}^{a_{2}b_{2}}}$(вычисления ведутся по модую ${\displaystyle q}$, т.е ${\displaystyle g_{2}}$ = ${\displaystyle g_{1}^{a_{2}}{\bmod {q}}}$).
• После этого они повторяют процедуру, генерируя новые ${\displaystyle a_{3},b_{3}}$, обмениваясь ${\displaystyle g_{1}^{a_{3}}}$и ${\displaystyle g_{1}^{b_{3}}}$(проверив, что они не равны 1) и вычисляя ${\displaystyle g_{3}=g_{1}^{a_{3}b_{3}}}$.
• ${\displaystyle a_{3}}$ и ${\displaystyle b_{3}}$ требуется запомнить для дальнейшего использования.

«Упаковка» ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$

• Алиса выбирает ${\displaystyle a}$, вычисляет ${\displaystyle P_{a}=g_{3}^{a}}$ и ${\displaystyle Q_{a}=g_{1}^{a}g_{2}^{x}}$. Боб выбирает ${\displaystyle b}$, вычисляет ${\displaystyle P_{b}=g_{3}^{b}}$ и ${\displaystyle Q_{b}=g_{1}^{b}g_{2}^{y}}$. Происходит обмен ${\displaystyle P_{a},Q_{a},P_{b},Q_{b}}$.

Проверка ${\displaystyle x=y}$

• Алиса вычисляет ${\displaystyle R_{a}={\Biggl (}{\frac {Q_{a}}{Q_{b}}}{\Biggr )}^{a_{3}}}$, Боб вычисляет ${\displaystyle R_{b}={\Biggl (}{\frac {Q_{a}}{Q_{b}}}{\Biggr )}^{b_{3}}}$, они обмениваются этими значениями и вычисляют ${\displaystyle R_{ab}=R_{a}^{b_{3}}=R_{b}^{a_{3}}}$.
• В данный момент обе стороны знают, что ${\displaystyle R_{ab}={\Biggl (}{\frac {Q_{a}}{Q_{b}}}{\Biggr )}^{a_{3}b_{3}}=(g_{1}^{a-b}g_{2}^{x-y})^{a_{3}b_{3}}=g_{3}^{a-b}g_{2}^{(x-y)a_{3}b_{3}}={\Biggl (}{\frac {P_{a}}{P_{b}}}{\Biggr )}(g_{2}^{a_{3}b_{3}})^{x-y}}$.
• То есть для того чтобы проверить ${\displaystyle x=y}$, нужно проверить ${\displaystyle R_{ab}={\Biggl (}{\frac {P_{a}}{P_{b}}}{\Biggr )}}$

В OTR используется 1536-битная группа, описанная в RFC 3526, также известная как группа Диффи-Хеллмана 5. Для безопасности сравниваются SHA-256 хеш от идентификатора сессии, отпечатки открытого ключа обеих сторон и оригинальные секреты Алисы и Боба^[4].

Безопасность протокола основывается на стандартных предположениях в криптографии^[3]:

• DL (discrete logarithm, дискретное логарифмирование) предположение для группы ${\displaystyle G_{q}}$ состоящее в том, что ${\displaystyle \log _{q}y}$ , ${\displaystyle g,y\in G_{q},g\neq 1}$ невозможно вычислить за разумное время.
• DH (Diffie-Hellman) предположение для группы ${\displaystyle G_{q}}$ состоящее в том, что невозможно вычислить ${\displaystyle g^{ab}}$, зная ${\displaystyle g,g^{a},g^{b}}$ для произвольных ${\displaystyle a,b}$.
• DDH (decisional Diffie-Hellman) предположение для группы ${\displaystyle G_{q}}$ состоящее в том, что невозможно определить ${\displaystyle c=ab}$ (что эквивалентно ${\displaystyle g^{c}=g^{ab}}$) зная ${\displaystyle g,g^{a},g^{b},g^{c}}$ для произвольных ${\displaystyle a,b,c}$.

• Протокол конфиденциального вычисления
• Off-the-Record Messaging
• Атака посредника
• Протокол Диффи — Хеллмана
• Доказательство с нулевым разглашением

• Описание протокола OTR
• Подборка статей о задаче миллионеров-социалистов
• Группы Диффи-Хеллмана