Закон дисперсии
Зако́н диспе́рсии, или дисперсио́нное соотноше́ние, в теории волн — функция зависимости частоты волны от волнового вектора:
- .
Математический вид этой зависимости, выражающей связь временнóй и пространственной периодичности волны, определяется свойствами рассматриваемых колебаний и среды, в которой они распространяются.
Из закона дисперсии можно получить фазовую и групповую скорости волны:
- .
В простейшем случае линейной связи и эти скорости совпадают.
Законы дисперсии существуют для волн любой природы, в том числе для электромагнитных и упругих. Концепция корпускулярно-волнового дуализма позволяет записать данный закон также для волн де Бройля, ассоциируемых с частицами, например электронами.
Иногда дисперсионное соотношение задаётся в виде зависимости
для энергии кванта колебаний (фотона, фонона) или частицы, где — постоянная Планка-Дирака.
Волновое уравнение и дисперсия
В гармоническом решении классического волнового уравнения фазовая скорость не зависит от волнового числа. Однако различные эффекты, возникающие в среде, могут приводить к появлению дополнительных членов в дифференциальном уравнении, описывающем распространение в этой среде волн. При подстановке в такое уравнение гармонической функции, можно увидеть, что она всё ещё является решением, но связь между частотой и волновым числом уже не линейная, что эквивалентно зависимости фазовой скорости от волнового числа.
Нахождение дисперсионного соотношения
Дисперсионные соотношения могут быть рассчитаны в рамках тех или иных моделей среды.
Экспериментально они не измеряются напрямую, но подлежат определению на основе анализа распространения волн. Например, закон дисперсии электромагнитной волны в некоторой среде можно получить на базе измерений частотной зависимости показателя преломления.
Примеры для волн различных типов
Дисперсия видимого света в оптике
Дисперсия возникает, если фазовая скорость распространения волны зависит от её волнового числа, что имеет место, когда закон дисперсии нелинеен. Среда, в которой возникает дисперсия, называется дисперсионной или диспергирующей средой. Такой средой в частности является стекло. Можно показать, что нелинейное дисперсионное соотношение для волн, распространяющихся в стекле, приводит к зависимости показателя преломления от длины волны.
Дисперсия стекла и закон Снеллиуса приводят к возможности использования стеклянной призмы в качестве простейшего спектрального прибора (см. картинку).
Упругие колебания атомов в цепочке
Пусть имеется одномерная линейная цепочка атомов массой , расстояние между ними . Сместим -й атом на малое расстояние . Из-за малости отклонения сила взаимодействия атомов будет квазиупругой.
С учётом ближайших соседей, действующая на -й атом смла запишется как
где — коэффициент. Уравнение движения для -го атома имеет вид
- .
Его решение ищется в форме , где — волновое число, const, а — частота. Тогда
откуда получается:
- где .
Это и есть зависимость частоты от волнового числа, то есть закон дисперсии, для одноатомной цепочки.
Законы дисперсии для электронов
В физике твёрдого тела закон дисперсии выражает связь между энергией электрона и его волновым вектором. Такие зависимости могут иметь достаточно сложный вид. На их основе рассчитывается эффективная масса электрона в разных квантовых состояниях.
В полупроводниках, в диапазоне энергий электрона вблизи минимума зоны проводимости дисперсионное соотношение часто повторяет соответствующее выражение для случая вакуума, но с эффективной массой отличной от массы свободного электрона:
- .
Однако при повышении энергии выражение значительно модифицируется.
См. также
Примечания
Литература
Стефан А. Тау. Линейные волны в средах с дисперсией // Нелинейные волны. — М.: Мир, 1977.