Зацепление (теория узлов)

Перейти к навигацииПерейти к поиску
Кольца Борромео
Обозначение= L6a4
Число нитей = 3
Длина косы= 6
Число пересечений= 6
Гиперболический объём= 7.327724753
Класс= гиперболический
Зацепление Хопфа, в котором кольца соединены лентой и являются её краями.
Трилистник, сцепленный с кругом.

Зацепление кратности  — вложение (чаще — его образ) несвязной суммы экземпляров окружности в или .

Зацепление кратности называется узлом.

Узлы, составляющие данное зацепление, называются его компонентами.

Объемлемо-изотопические классы зацеплений называются типами зацеплений. Зацепления одного типа называются эквивалентными.

Зацепление, состоящее из некоторых компонент зацепления , называется его частичным зацеплением.

Говорят, что зацепление распадается (или расщепляется), если два его частичных зацепления разделены в двумерной сферой.

Некоторые типы зацеплений

  • Зацепление «», лежащее в плоскости в , называется тривиальным.
  • Зацепление называется брунновым, если распадается каждое его частичное зацепление, кроме него самого.
  • Наиболее изучены кусочно линейные зацепления. Рассмотрение гладких или локально плоских топологических вложений в приводит к теории совпадающей с кусочно линейной.
  • Кроме плоскости всякое зацепление можно расположить на стандартно вложенной в замкнутой поверхности. Например, зацепление можно расположить на незаузленном торе или кренделе, тогда такое зацепление будет называться соответственно торическим, или крендельным.
  • Зацепление, лежащее на границе трубчатой окрестности узла называется обмоткой узла . Зацепление, которое можно получить многократным взятием обмоток, начиная с тривиального узла, называется трубчатым, или сложным кабельтовым.

Задание зацеплений

Обычно зацепления задаются посредством так называемых диаграмм узлов и зацеплений. Этот способ тесно связан с понятием кос. Если в косе из нитей соединить вверху и внизу по пар соседних концов отрезками, то получится зацепление, называемое -сплетением.

Другой способ конструирования зацеплений из кос состоит в замыкании кос. Если между двумя параллельными плоскостями и в взять ортогональных им отрезков и соединить их концы попарно дугами в и дугами в без пересечений, то сумма всех дуг и отрезков даст зацепление. Зацепление, допускающее такое представление, называется зацеплением с мостами.

Примеры зацеплений

Зацепление Хопфа
Обозначение= L2a1
Число нитей = 2
Длина косы= 2
Число пересечений= 2
Коэффициент зацепления= 1
Гиперболический объём= 0
Класс= тор
Узел Соломона
Число нитей = 4
Длина косы= 8
Число пересечений= 4
Число распутывания =2
ab-нотация =42
1

Гиперболический объём= 0
альтернирующий

Примечания

  1. Adams, 2004, с. 151.
  2. Kusner, Sullivan, 1998, с. 67–78.
  3. Прасолов, Сосинский, 1997, с. 12.
  4. Название возникло из герба семьи Борромео, на котором эти кольца присутствуют.

Литература

  • Simon Jonathan. Mathematical Approaches to Biomolecular Structure and Dynamics / Jill P. Mesirov, Klaus Schulten, De Witt Sumners. — 1996. — Т. 82. — (The IMA Volumes in Mathematics and its Applications). — doi:10.1007/978-1-4612-4066-2_4.
  • P.G. Tait. Scientific papers. — Cambridge University Press, 1898. — Т. 1.
  • C. A. Adams. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. — American Mathematical Society, 2004. — ISBN 9780821836781.
  • Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов / Пер. с англ. — Череповец: Меркурий-Пресс, 2000. — 348 с. — ISBN 5-1148-0112-0..
  • Мантуров В. О. Теория узлов. — М.: РХД, 2005. — 512 с. — ISBN 5-93972-404-3..
  • Мантуров В. О. Лекции по теории узлов и их инвариантов. — М.: Едиториал УРСС, 2001. — 204 с. — ISBN 5-8360-0287-8..
  • Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей / Пер. с англ. — М.: Мир, 1971. — 127 с.
  • Мандельбаум Р. Четырёхмерная топология / Пер. с англ. — М.: Мир, 1981. — 286 с.
  • Hillman J. A. Alexander ideals of links B. — Hdlb. — N. Y., 1981.
  • Джонс, Воган Ф. Р. Теория узлов и статистическая механика // Scientific American (издание на русском языке). — № 1. — 1991. — С. 44—50.
  • Прасолов В. В., Сосинский А. Б. . Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия. — М.: МЦНМО, 1997. — ISBN 5-900916-10-3.
  • Сосинский, А. Б. Узлы и косы. — М.: МЦНМО, 2001. — Т. 10. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-76-6..
  • Статьи «Теория узлов в конце XX века» // Математическое просвещение. — № 3. — 1999.
  • Мантуров В. О. Экскурс в теорию узлов // Сетевой образовательный журнал. — 2004. — Т. 8, № 1. — С. 122—127.
  • H. Gruber. Estimates for the minimal crossing number. — 2003. — arXiv:math/0303273.* Kusner R. B., Sullivan J. M. . Topology and geometry in polymer science (Minneapolis, MN, 1996). — New York: Springer, 1998. — Vol. 103. — (IMA Vol. Math. Appl.). — doi:10.1007/978-1-4612-1712-1_7.
  • Yuanan Diao. The additivity of crossing numbers // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 2004. — Т. 13, вып. 7. — doi:10.1142/S0218216504003524.
  • Marc Lackenby. The crossing number of composite knots // Journal of Topology. — 2009. — Т. 2, вып. 4. — doi:10.1112/jtopol/jtp028.
  • Honda K. 3-dimensional methods in contact geometry(англ.)
  • Etnyre J. B. Legendrian and Transversal Knots(англ.)
  • Birman J.S. Braids, knots and contact structures(англ.)
  • Weisstein, Eric W. Knot Theory (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.