Золотое сечение

Иррациональные числа ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — ln 2 — φ,Φ — ψ — α,δ — e — eπ и π
Система счисления	Оценка числа Φ
Десятичная	1.6180339887498948482…
Двоичная	1.1001111000110111011…
Шестнадцатеричная	1.9E3779B97F4A7C15F39…
Шестидесятеричная	1; 37 04 55 20 29 39 …
Рациональные приближения	3/2; 5/3; 8/5; 13/8; 21/13; 34/21; 55/34; 89/55; … ${\displaystyle F_{n+1}/F_{n}}$, где ${\displaystyle F_{n}}$ — числа Фибоначчи (перечислено в порядке увеличения точности)
Непрерывная дробь	${\displaystyle 1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}$

Золото́е сече́ние (золота́я пропо́рция, иначе: деле́ние в кра́йнем и сре́днем отноше́нии, гармони́ческое деление) — отношение частей и целого, при котором отношения частей между собой и наибольшей части к целому равны. Такие отношения наблюдаются в природе, открыты в науке и соблюдаются в искусстве. На «золотых отрезках» основываются различные системы и способы пропорционирования в архитектуре. Соотношение двух величин ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, при котором бо́льшая величина относится к меньшей так же, как сумма этих величин к бо́льшей, то есть ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}}$, является универсальным. Отсюда название, которое впервые появилось в эпоху Возрождения, в частности в трактате францисканского монаха, математика Луки Пачоли Божественная пропорция (лат. De Divina Proportione (1509 год)), но закономерность подобных отношений была известна гораздо раньше: в Древней Месопотамии, Египте и античной Греции.

Исторически в древнегреческой математике золотым сечением именовалось деление отрезка ${\displaystyle AB}$ точкой ${\displaystyle C}$ на две части так, что бо́льшая часть относится к меньшей, как весь отрезок к большей: ${\displaystyle {\frac {BC}{AC}}={\frac {AB}{BC}}.}$ Это понятие было распространено не только на отрезки, но и на произвольные величины.

Число, равное отношению ${\displaystyle a/b,}$ обычно обозначается прописной греческой буквой ${\displaystyle \Phi }$ (фи), в честь древнегреческого скульптора и архитектора Фидия^[2], реже — греческой буквой ${\displaystyle \tau }$ (тау).

Из исходного равенства (например, принимая ${\displaystyle AB}$ за 1, ${\displaystyle AC}$ за неизвестную переменную ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle BC}$ за ${\displaystyle x,}$ и решая получившуюся систему уравнений ${\displaystyle x+y=1;\ x/y=1/x}$) получается квадратное уравнение: $${\displaystyle 1+{1 \over x}=x\Longleftrightarrow x^{2}-x-1=0,}$$ а после его решения и число: ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$

Обратное число, обозначаемое строчной буквой ${\displaystyle \varphi }$^[2],

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{\Phi }}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}=e^{-0,2i\pi }+e^{0{,}2i\pi }=e^{-0{,}2\ln -1}+e^{0{,}2\ln -1}=(-1)^{-0{,}2}+(-1)^{0{,}2}={\frac {1}{\sqrt[{5}]{-1}}}+{\sqrt[{5}]{-1}}=2{\mathfrak {R}}({\sqrt[{5}]{-1}})\approx 0{,}61803}$

Легко видеть, что

${\displaystyle \varphi =\Phi -1.}$

Число ${\displaystyle \Phi }$ называется также золотым числом.

Для практических целей обычно ограничиваются приблизительным значением ${\displaystyle \Phi \approx 1{,}618}$ или ${\displaystyle \Phi \approx 1{,}62.}$ В процентах округлённое значение золотого сечения — это деление некоторой величины в отношении 62 % к 38 %.

Золотое сечение имеет множество замечательных свойств (например, ${\displaystyle \Phi }$² = ${\displaystyle \Phi }$ + 1), но, кроме того, ему приписывают и многие вымышленные свойства^[3][4][5].

В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении (ἄκρος καὶ μέσος λόγος) впервые встречается в «Началах» Евклида (около 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника^[6].

Лука Пачоли, современник и друг Леонардо да Винчи, усматривал в этой пропорции «божественную суть», выражающую триединство Бога Отца, Сына и Святого Духа^[7].

Неизвестно точно, кто и когда именно впервые ввёл в обращение термин «золотое сечение». Несмотря на то, что некоторые авторитетные авторы связывают появление этого термина с Леонардо да Винчи в XV веке^[8] или относят появление этого термина к XVI веку^[9], самое раннее употребление этого термина находится у Мартина Ома в 1835 году, а именно в примечании ко второму изданию его книги «Чистая элементарная математика»^[10], в котором Ом пишет, что это сечение часто называют золотым сечением (нем. goldener Schnitt). Из текста этого примечания следует, что Ом не придумал этот термин сам^[11][12], хотя некоторые авторы утверждают обратное^[13]. Тем не менее, исходя из того, что в первом издании своей книги Ом еще не употреблял этот термин^[14], Роджер Герц-Фишлер делает вывод о том, что этот термин, возможно, появился в первой четверти XIX века^[15]. Марио Ливио считает, что он получил популярность в устной традиции около 1830 года.^[16] В любом случае именно после Ома термин стал распространён в немецкой математической литературе^[17].

• ${\displaystyle \Phi }$ — иррациональное алгебраическое число, положительное решение квадратного уравнения ${\displaystyle x^{2}-x-1=0,}$ из которого, в частности, следуют соотношения:

  ${\displaystyle \Phi ^{2}-\Phi =1,}$

  ${\displaystyle \Phi \cdot (\Phi -1)=1.}$

• ${\displaystyle \Phi }$ представляется через тригонометрические функции (см. «Тригонометрические константы»):
  • ${\displaystyle \Phi =2\cos {\frac {\pi }{5}}=2\cos 36^{\circ }.}$
  • ${\displaystyle \Phi =2\sin(3\pi /10)=2\sin 54^{\circ }.}$

• Если угол между диагональю и меньшей стороной прямоугольника, относящейся к большей стороне как 1:2, поделить пополам, то по формуле тангенса половинного угла получится соотношение:

${\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}=\varphi =\operatorname {tg} \left({\frac {\operatorname {arctg} (2)}{2}}\right)={\frac {2}{1+{\sqrt {1+2^{2}}}}}={\frac {2}{1+{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}.}$

• ${\displaystyle \Phi }$ представляется в виде бесконечной цепочки квадратных корней:

  ${\displaystyle \Phi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\dots }}}}}}}}~.}$

• ${\displaystyle \Phi }$ представляется в виде бесконечной цепной дроби

  ${\displaystyle \Phi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\dots }}}}}},}$

подходящими дробями которой служат отношения последовательных чисел Фибоначчи ${\displaystyle {\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}}$. Таким образом,

• ${\displaystyle \Phi =\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}.}$

• Мера иррациональности ${\displaystyle \Phi }$ равна 2.

• Отрезав квадрат от прямоугольника, построенного с золотой пропорцией, мы получаем новый, уменьшенный прямоугольник с тем же отношением сторон ${\displaystyle \Phi =a/b,}$ что и у исходного прямоугольника ${\displaystyle \Phi =(a+b)/a.}$
• Продолжая отрезать квадраты против часовой стрелки получим согласно рисунку координаты предельной точки ${\displaystyle (a+b){\frac {1}{1-\varphi ^{4}}},\;a{\frac {1-\varphi ^{4}-\varphi ^{5}}{1-\varphi ^{4}}}.}$ Более того, это точка будет лежать на пересечении диагоналей первого и второго прямоугольников.

• В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится другим отрезком, пересекающим его, в золотом сечении. На приведённом рисунке отношения красного отрезка к зелёному, зелёного к синему и синего к пурпурному равны ${\displaystyle \Phi .}$ Кроме того, отношение красного отрезка к расстоянию между любыми соседними вершинами звезды, которое равно зелёному отрезку, также равно ${\displaystyle \Phi .}$

• Геометрическое построение. Золотое сечение отрезка ${\displaystyle AB}$ можно построить следующим образом: в точке ${\displaystyle B}$ проводят перпендикуляр к ${\displaystyle AB,}$ откладывают на нём отрезок ${\displaystyle BC,}$ равный половине ${\displaystyle AB,}$ на отрезке ${\displaystyle AC}$ откладывают отрезок ${\displaystyle CD,}$ равный ${\displaystyle BC,}$ и наконец на отрезке ${\displaystyle AB}$ откладывают отрезок ${\displaystyle AE,}$ равный ${\displaystyle AD.}$ Тогда:

${\displaystyle \Phi ={\frac {|AB|}{|AE|}}={\frac {|AE|}{|BE|}}.}$

• Другой способ построить отрезок, равный по длине числу золотого сечения, — это начертить квадрат ABCD со стороной 1, после этого одну из сторон, например сторону AD, разделить точкой E пополам, так что AE = DE = 1/2, далее от точки B или C до точки E провести гипотенузу треугольника АВЕ или DCE. Согласно теореме Пифагора ${\displaystyle BE=CE={\tfrac {\sqrt {5}}{2}}}$. Затем провести дугу с центром в точке Е от точки В или точки С до прямой, где лежит сторона AD и точка пересечения где будет называться Н. Стороны BE, СЕ и ЕН равны как радиусы окружности. Так как АН = АЕ + ЕН, то отрезок АН длины ${\displaystyle \Phi }$ и будет результатом. Кроме того, поскольку DH = EH – ED, отрезок DH будет иметь длину ${\displaystyle \varphi }$^[18].

• Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению.
• Значения дробной части чисел ${\displaystyle \Phi ,}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}}$ и ${\displaystyle \Phi ^{2}}$ одинаковы и равны ${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}$.
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}=2\ln ^{2}\varphi ,}$

где ${\displaystyle {\tbinom {2n}{n}}}$ — биномиальный коэффициент, тогда как ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}={\frac {\pi ^{2}}{18}}}$^[]

• разложение суммы или разности пятых степеней использует золотое сечение:

${\displaystyle a^{5}\pm b^{5}=(a\pm b)(a^{2}\mp \Phi ab+b^{2})(a^{2}\pm {\frac {1}{\Phi }}ab+b^{2})}$

Золотое число возникает в разных задачах, в том числе в физике. Например, бесконечная электрическая цепь, приведённая на рисунке, имеет общее сопротивление (между двумя левыми концами) ${\displaystyle \Phi \cdot r.}$

Существуют колебательные системы, физические характеристики которых (отношения частот, амплитуд и др.) пропорциональны золотому сечению. Самый простой пример — система из двух шариков, соединённых последовательно пружинами одинаковой жёсткости (см. рисунок)^[19].

Более сложные примеры механических колебаний и их обобщений рассматриваются в этой^{[прояснить]} же книге, в главе «Обобщения одной простой задачи по механике». В книге приведено много примеров проявления и применения золотого сечения в различных областях наук — небесной механике, физике, геофизике, биофизике, физической химии, биологии, Физиологии.

Золотое сечение тесно связано с симметрией пятого порядка, наиболее известными трёхмерными представителями которой являются додекаэдр и икосаэдр. Можно сказать, что всюду, где в структуре проявляются додекаэдр, икосаэдр или их производные, там в описании будет появляться и золотое сечение. Например, в пространственных группировках атомов бора: В-12, В-50, В-78, В-84, В-90, …, В-1708, имеющих икосаэдрическую симметрию^[20]. Молекула воды, у которой угол между связями Н-О равен 104,7°, то есть близок к 108 градусам (равен углу в правильном пятиугольнике), может соединяться в плоские и трехмерные структуры с симметрией пятого порядка. Так, в разреженной плазме был обнаружен ион Н⁺(Н₂0)₂₁, который представляет собой ион Н₃0⁺, окруженный 20 молекулами воды, расположенными в вершинах додекаэдра^[21]. В 80-х годах XX века были получены клатратные соединения, содержащие гексааквакомплекс кальция, окруженный 20 молекулами воды, расположенными в вершинах додекаэдра^[22]. Есть и клатратные модели воды, в которых обыкновенная вода отчасти состоит из молекул воды, соединённых в структуры с симметрией пятого порядка. Такие структуры могут состоять из 20, 57, 912 молекул воды^[23].

Некоторые из утверждений в доказательство гипотезы знания древними правила золотого сечения:

• Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона близки к золотому сечению.
• По мнению Ле Корбюзье, в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют золотому сечению. В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции. В циркуле из древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д.
• Использование пропорции «золотого сечение» в пропорциях канонов человеческого тела, судя по историческим документам^[], вызывает очень большие сомнения. Начиная с работы Адольфа Цейзинга сформировалась целая система мифов о «золотом сечении»^[24].

Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения»^[]. Российский зодчий И. В. Жолтовский использовал золотое сечение в своих проектах^[25].

Иоганн Себастьян Бах в своей трёхголосной инвенции E-dur № 6 BWV 792 использовал двухчастную форму, в которой соотношение размеров частей соответствует пропорциям золотого сечения. 1 часть — 17 тактов, 2 часть — 24 такта (небольшие несоответствия выравниваются за счёт ферматы в 34 такте)^[26].

Современными примерами применения золотого сечения может служить мозаика Пенроуза и пропорции государственного флага Того.

Живые системы также обладают свойствами, характерными для «золотого сечения». Например: пропорции тел, спиральные структуры (филлотаксис) или параметры биоритмов^[27][] и др.

на русском языке

• Аракелян Г. Б. Математика и история золотого сечения. — М.: Логос, 2014, 404 с. — ISBN 978-5-98704-663-0.
• Бендукидзе А. Д. Золотое сечение Архивная копия от 11 октября 2004 на Wayback Machine «Квант» № 8, 1973.
• Васютинский Н. А. Золотая пропорция. — М.: Молодая гвардия, 1990. — 238[2]c. — (Эврика).
• Власов В. Г. Золотое сечение, или Божественная пропорция // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства: В 10 т. — Т.3. — СПб.: Азбука-Классика, 2005. — С. 725—732.
• Власов В. Г. Приемы гармонизации пространства в классической архитектуре // Власов В. Г. Искусство России в пространстве Евразии. — Т.3. Классическое искусствознание и «русский мир». — СПб.: Дмитрий Буланин, 2012. — С. 156—192.
• Мазель Л. А. Опыт исследования золотого сечения в музыкальных построениях в свете общего анализа форм // Музыкальное образование. — 1930. — № 2. — С. 24—33.
• Сабанеев Л. Л. Этюды Шопена в освещении закона золотого сечения. Опыт позитивного обоснования законов формы // Искусство. — 1925. — № 2. — С. 132—145; 1927. — № 2—3. — С. 32—56.
• Шевелев И. Ш., Марутаев М. А., Шмелев И. Л. Золотое сечение. Три взгляда на природу гармонии (рус.). — М.: Стройиздат, 1990. — 343 с. — ISBN 5-274-00197-1.
• Шевелев И. Ш. Геометрическая гармония. Опыт исследования пропорциональности в архитектуре (рус.). — Кострома, 1963. — 107 с.
• Шмигевский Н. В. Формула совершенства // Страна знаний. — 2010. — № 4. — С. 2—7.

на других языках

• Mario Livio. The Golden Ratio: The Story of PHI, the World's Most Astonishing Number. — Crown/Archetype, 2008. — 303 с. — ISBN 9780307485526. Архивная копия от 31 марта 2019 на Wayback Machine Русский перевод в

Марио Ливио. φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания. — Litres, 2015-04-17. — 481 с. — ISBN 9785457762732. Архивная копия от 24 июня 2016 на Wayback Machine

• Roger Herz-Fischler. A Mathematical History of the Golden Number. — Courier Corporation, 2013. — 228 с. — ISBN 9780486152325. Архивная копия от 2 июля 2016 на Wayback Machine

• Белянин В. С., «Владел ли Платон кодом золотой пропорции? Анализ мифа»
• Радзюкевич А. В., К вопросу о научном изучении пропорций в архитектуре и искусстве Архивная копия от 3 апреля 2015 на Wayback Machine.
• Радзюкевич А. В., Критический анализ Адольфа Цейзинга — основоположника гипотезы «золотого сечения». Архивная копия от 19 декабря 2014 на Wayback Machine
• Статья о золотом сечении в изобразительном искусстве, Золотое сечение в изобразительном искусстве
• J. J. O'Connor, E. F. Robertson. Golden ratio  (неопр.). MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. Дата обращения: 13 ноября 2015. Архивировано 25 июля 2015 года.
• Функция Фибоначчи Архивная копия от 30 октября 2020 на Wayback Machine в Wolfram alpha