Идеальная точка

Несобственная точка, идеальная точка, омега-точка или бесконечно удалённая точка^[1] — это вполне определённая^[англ.] точка вне гиперболической плоскости или пространства. Если дана прямая l и точка P вне l, то проходящие через P прямые, справа и слева параллельные в пределе к прямой l, сходятся к l в идеальных точках.

В отличие от проективного случая, идеальные точки образуют границу, а не подмногообразие. Таким образом, эти прямые не пересекаются в идеальной точке, и такие точки, хотя они вполне определены^[англ.], не принадлежат самому гиперболическому пространству.

Идеальные точки вместе образуют абсолют Кэли^[англ.] или границу гиперболической геометрии. Например, единичная окружность образует абсолют Кэли дисковой модели Пуанкаре и дисковой модели Клейна. В это же время вещественная прямая образует абсолют Кэли модели полуплоскости^[2].

Аксиома Паша и теорема о внешнем угле треугольника выполняются для омега-треугольника, который определяется двумя точками гиперболического пространства и омега-точкой^[3].

• Гиперболическое расстояние между идеальными точками и любой другой точкой или другой точкой равно бесконечности.
• Центры орициклов и орисфер являются идеальными точками. Два орицикла концентричны, когда они имеют один и тот же центр.

Если все вершины треугольника являются идеальными точками, треугольник является идеальным треугольником.

Идеальные треугольники имеют несколько интересных свойств:

• Все идеальные треугольники конгруэнтны.
• Внутренние углы идеального треугольника все равны нулю.
• Любой идеальный треугольник имеет бесконечный периметр.
• Любой идеальный треугольник имеет площадь ${\displaystyle \pi /-K}$, где K равно (отрицательной) кривизне плоскости^[4].

Если все вершины четырёхугольника являются идеальными точками, четырёхугольник является идеальным четырёхугольником.

В то время как все идеальные треугольники конгруэнтны, не все четырёхугольники конгруэнтны, диагонали могут пересекаться под разными углами, что приводит к неконгруэнтности четырёхугольников, при этом:

• Внутренние углы идеального четырёхугольника все равны нулю.
• Любой идеальный четырёхугольник имеет бесконечный периметр.
• Любой идеальный (выпуклый без пересечений) четырёхугольник имеет площадь ${\displaystyle 2\pi /-K}$, где K равно (отрицательной) кривизне плоскости.

Идеальный четырёхугольник, у которого две диагонали перпендикулярны образует идеальный квадрат.

Идеальный квадрат использовал Фердинанд Карл Швейкарт в его меморандуме, в которой он упоминает «астральную геометрию». Это была одна из первых публикаций, допускающих возможность гиперболической геометрии^[5].

Как n-угольники могут быть разделены на (n − 2) идеальных треугольников, и площадь многоугольника будет равна площади идеального треугольника, умноженной на (n − 2).

В дисковой модели Кляйна и дисковой модели Пуанкаре гиперболической плоскости идеальными точками являются единичные окружности (для гиперболической плоскости) или единичная сфера (для пространств большей размерности), которые являются недостижимой границей гиперболического пространства.

Одна и та же гиперболическая прямая в дисковой модели Кляйна и дисковой модели Пуанкаре будет проходить через те же две идеальные точки.

Если даны две различные точки p и q в открытом единичном диске, единственная прямая, соединяющая их, пересекает единичную окружность в двух идеальных точках, a и b (предполагается, что точки идут в порядке a, p, q, b), так что |aq| > |ap| и |pb| > |qb|. Тогда гиперболическое расстояние между p и q выражается формулой

${\displaystyle d(p,q)={\frac {1}{2}}\log {\frac {\left|qa\right|\left|bp\right|}{\left|pa\right|\left|bq\right|}},}$

Если заданы две различные точки p и q в открытом единичном диске, то единственная дуга окружности, ортогональная границе и соединяющая точки, пересекает единичную окружность в двух идеальных точках, a и b (предполагается, что точки идут в порядке a, p, q, b), так что |aq| > |ap| и |pb| > |qb|. Тогда гиперболическое расстояние между p и q выражается формулой

${\displaystyle d(p,q)=\log {\frac {\left|qa\right|\left|bp\right|}{\left|pa\right|\left|bq\right|}},}$

Здесь расстояние измеряется вдоль (прямых) отрезков aq, ap, pb и qb.

В модели полуплоскости идеальные точки — это точки на граничной оси. Существует также другая идеальная точка, которая не принадлежит модели полуплоскости (но лучи, параллельные положительной полуоси y, приближаются к ней).

В гиперболоидной модели нет никаких несобственных точек.

• Несобственный треугольник^[англ.]
• Бесконечно удалённая точка для других геометрий.