Изоморфизм категорий

Изоморфизм категорий — взаимно-однозначное отношение между категориями, сохраняющее структуру объектов и морфизмов: категории ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ изоморфны, если существуют функторы ${\displaystyle F\colon C\to D}$ и ${\displaystyle G\colon D\to C}$, которые являются обратными друг другу, то есть, ${\displaystyle FG=1_{D}}$ (функтор тождественности на ${\displaystyle D}$) и ${\displaystyle GF=1_{C}}$^[1]. Две изоморфные категории разделяют все свойства, которые определены только в терминах теории категорий; для всех практических целей они идентичны и различаются только обозначениями объектов и морфизмов.

Изоморфизм категорий является очень сильным условием, которое редко удовлетворяется; в связи с этим чаще используется понятие эквивалентности категорий, для которого не требуется, чтобы ${\displaystyle FG}$ был равен ${\displaystyle 1_{D}}$, а лишь естественно изоморфен ${\displaystyle 1_{D}}$, и аналогично ${\displaystyle GF}$ был естественно изоморфен ${\displaystyle 1_{C}}$.

Функтор ${\displaystyle F\colon C\to D}$ создаёт изоморфизм категорий тогда и только тогда, когда он биективен на объектах и на множестве морфизмов^[1]; благодаря этому критерию можно доказывать изоморфность категорий без построения обратного функтора ${\displaystyle G}$.

Для конечной группы ${\displaystyle G}$, поле ${\displaystyle k}$ и групповой алгебры ${\displaystyle kG}$ категория ${\displaystyle k}$-линейных представлений группы группы ${\displaystyle G}$ изоморфна категории левых модулей над ${\displaystyle kG}$. Изоморфизм можно описать следующим образом: если дано представление группы ${\displaystyle \rho \colon G\to \mathbf {GL} (V)}$, где ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle \mathbf {GL} (V)}$ является группой его ${\displaystyle k}$-линейных автоморфизмов, а ${\displaystyle \rho }$ является гомоморфизмом групп, ${\displaystyle V}$ переводится в левый ${\displaystyle kG}$-модуль следующим образом:

${\displaystyle \left(\sum _{g\in G}a_{g}g\right)v=\sum _{g\in G}a_{g}\rho (g)(v)}$

для любого ${\displaystyle v}$ из ${\displaystyle V}$ и любого элемента ${\displaystyle \sum a_{g},g\in kG}$. Обратно, если задан левый ${\displaystyle kG}$-модуль ${\displaystyle M}$, то ${\displaystyle M}$ является ${\displaystyle k}$-векторным пространством, и умножение на элемент ${\displaystyle g}$ группы ${\displaystyle G}$ приводит к ${\displaystyle k}$-линейному автоморфизму модуля ${\displaystyle M}$ (поскольку ${\displaystyle g}$ обратим в ${\displaystyle kG}$), что описывает групповой гомоморфизм ${\displaystyle G\to \mathbf {GL} (M)}$.

Любое кольцо может рассматриваться как предаддитивная категория с единственным объектом. Категория функторов всех аддитивных функторов из этой категории в категорию абелевых групп изоморфна категории левых модулей над кольцом.

Автоморфизм категорий возникает в теории булевых алгебр: категория булевых алгебр изоморфна категории булевых колец. Заданная булева алгебра ${\displaystyle B}$ переводится в булево кольцо с помощью симметрической разности в качестве сложения и операции логического умножения ${\displaystyle \land }$ в качестве умножения. И обратно, если дано булево кольцо ${\displaystyle R}$, то можно определить операцию объединения как ${\displaystyle a\lor b=a+b+ab}$, а операцию пересечения как умножение. Оба этих определения могут быть расширены до морфизмов для получения функторов и эти функторы взаимно обратны друг другу.

Если ${\displaystyle C}$ является категорией с начальным объектом ${\displaystyle s}$, то категория объектов «над» (${\displaystyle s{\downarrow }C}$) изоморфна ${\displaystyle C}$. Двойственно, если ${\displaystyle t}$ является терминальным объектом в ${\displaystyle C}$, категория функтора (${\displaystyle C{\downarrow }t}$) изоморфна ${\displaystyle C}$.

• Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.