Икосианы

Икосианы — это некоммутативная алгебраическая система, обнаруженная ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1856 году^[1][2]. В современной терминологии он нашёл задание группы вращений икосаэдра^[англ.] с помощью генераторов и связей.

Открытие Гамильтона возникло из его попыток найти алгебру «троек» (3-кортежей), которые, как он верил, будут отражать оси координат. Икосианы можно отождествить с перемещениями по вершинам додекаэдра. Работа Гамильтона в этой области косвенно привела к гамильтоновым циклам и гамильтоновым путям в теории графов^[3]. Он также изобрёл игру «Икосиан» для иллюстрации и популяризации своего открытия.

Алгебра основывается на трёх символах, которые являются корнями из единицы, так что последовательное применение любого из них через некоторое число шагов приводит к единице. Это:

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota ^{2}&=1,\\\kappa ^{3}&=1,\\\lambda ^{5}&=1.\end{aligned}}}$

Гамильтон также дал другую связь между символами:

${\displaystyle \lambda =\iota \kappa .}$

(В современных терминах, это (2,3,5) группа треугольника.)

Операция ассоциативна, но не коммутативна. Она образует группу 60-го порядка, изоморфную группе вращений правильного икосаэдра или додекаэдра, а потому знакопеременной группе пятой степени.

Хотя алгебра существует как вполне абстрактное построение, её можно наглядно представить в терминах операций с вершинами додекаэдра. Гамильтон сам использовал плоское представление додекаэдра в качестве основы для игры.

Представим себе жука, ползущего вдоль определённого ребра додекаэдра (с помеченными вершинами) в определённом направлении, скажем, от ${\displaystyle B}$ к ${\displaystyle C}$. Мы можем представить это как ориентированную дугу ${\displaystyle BC}$.

• Икосиан ${\displaystyle \iota }$ приравнивается к изменению направления любого ребра, так что жук будет ползти от ${\displaystyle C}$ к ${\displaystyle B}$ (следуя направленной дуге ${\displaystyle CB}$).

• Икосиан ${\displaystyle \kappa }$ приравнивается к вращению текущего направления жука против часовой стрелки вокруг конечной вершины. В нашем примере это означает изменение текущего направления ${\displaystyle BC}$ на ${\displaystyle DC}$.

• Икосиан ${\displaystyle \lambda }$ приравнивается к правому повороту в конечной точке, то есть переходе от ${\displaystyle BC}$ к ${\displaystyle CD}$.

Икосианы являются одним из наиболее ранних примеров многих математических идей, включая:

• Представление и изучение групп с помощью генераторов и связей;
• Группа треугольника, позднее обобщена в группы Коксетера;
• Визуализация группы с помощью графа, приведшая к комбинаторной теории групп, а позднее к геометрической теории групп;
• Гамильтоновы циклы и пути в теории графов^[3];
• dessin d'enfant^[4][5] — смотрите dessin d'enfant: история^[англ.] для деталей.