Инвариантная мера

Инвариантная мера — в теории динамических систем мера, определённая в фазовом пространстве, связанная с динамической системой и не изменяющаяся с течением времени при эволюции состояния динамической системы в фазовом пространстве. Понятие инвариантной меры применяется при усреднении уравнений движения, в теории показателей Ляпунова, в теории метрической энтропии и вероятностных фрактальных размерностей^[1].

В теории динамических систем, мера ${\displaystyle \mu }$ на пространстве ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ называется инвариантной для измеримого отображения ${\displaystyle f:(X,\Sigma )\to (X,\Sigma )}$, если она совпадает со своим образом ${\displaystyle f_{*}\mu }$^[2]. В силу определения, это означает, что

${\displaystyle \forall A\in \Sigma \quad \mu (A)=\mu (f^{-1}(A)).\qquad (*)}$

Для обратимых отображений переход к прообразу в (*) может быть заменён на переход к образу: если отображение ${\displaystyle f^{-1}}$ также измеримо в смысле ${\displaystyle (X,\Sigma )}$, то эквивалентным является определение

${\displaystyle \forall A\in \Sigma \quad \mu (A)=\mu (f(A)).}$

Однако в общей ситуации изменять определение таким образом нельзя: мера Лебега на окружности ${\displaystyle S^{1}}$ инвариантна относительно отображения удвоения ${\displaystyle x\mapsto 2x\mod 1}$, однако мера дуги ${\displaystyle [0,1/3]}$ отлична от меры её образа ${\displaystyle [0,2/3]}$.

• Отображение ${\displaystyle x_{n+1}=2x_{n}{\bmod {1}}\equiv f(x_{n})}$^[3]. Уравнение Перрона — Фробениуса для него имеет вид ${\displaystyle p(x)={\frac {1}{2}}\left[p\left({\frac {x}{2}}\right)+p\left({\frac {x+1}{2}}\right)\right]}$. Подставляя это выражение в его же правую часть, получаем: ${\displaystyle p(x)={\frac {1}{4}}\left[p\left({\frac {x}{4}}\right)+p\left({\frac {x+1}{4}}\right)+p\left({\frac {x+2}{4}}\right)+p\left({\frac {x+3}{4}}\right)\right]}$. Повторяя эту подстановку ${\displaystyle n}$ раз, получаем: ${\displaystyle p(x)={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{i=0}^{2^{n}-1}p\left({\frac {x+i}{2^{n}}}\right)\xrightarrow {n\to \infty } \int _{0}^{1}p(x)\,dx=1}$. Эта мера устойчива, то есть произвольная непрерывная мера будет сходится к ней.
• Отображение ${\displaystyle x_{n+1}=1-2|x_{n}|,x\in [-1,1]}$ или ${\displaystyle x_{n+1}=1-2|2x_{n}-1|}$, ${\displaystyle x\in [0,1](1)}$^[4]. Существование устойчивой непрерывной инвариантной меры с ${\displaystyle p(x)=\mathrm {const} }$ доказывается аналогично.
• Логистическое отображение ${\displaystyle x_{n+1}=1-2x_{n}^{2}}$, ${\displaystyle x\in [-1,1]}$^[4]. Производим замену ${\displaystyle x=-\cos \pi \theta }$, ${\displaystyle \theta \in [0,1]}$, получаем ${\displaystyle -\cos \pi \theta _{n+1}=1-2(\cos \pi \theta _{n})^{2}=-\cos 2\pi \theta _{n}}$, ${\displaystyle \theta _{n+1}={\begin{cases}2\theta _{n},&\theta _{n}\leqslant {\frac {1}{2}}\\2-2\theta _{n},&\theta _{n}>{\frac {1}{2}}\end{cases}}}$, что можно преобразовать к виду (1). Следовательно, для ${\displaystyle \theta }$ существует непрерывная постоянная плотность вероятности ${\displaystyle p(\theta )=1}$. Плотность вероятности для ${\displaystyle x}$ следует из неё: ${\displaystyle p(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {1-x^{2}}}}}}$.

• Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Нелинейная динамика и хаос: основные понятия. — М.: Либроком, 2011. — 240 с. — ISBN 978-5-397-01583-7.

• Теорема Крылова — Боголюбова
• Теорема Биркгофа — Хинчина
• Альтернатива Жиса — Маргулиса