Инволютивная матрица

Перейти к навигации Перейти к поиску

Инволютивная матрица — матрица, обратная самой себе, то есть, матрица $A$ , для которой выполнено $A^{2}=E$ .

Свойства

Все инволютивные матрицы являются квадратными корнями из единичной матрицы.
$n\times n$ -матрица $A$ инволютивна тогда и только тогда, когда ${\tfrac {1}{2}}(A+E)$ — идемпотентная матрица.
Инволютивная симметричная матрица является ортогональной матрицей, она представляет изометрию соответствующего линейного пространства.
Блочно-диагональная матрица, состоящая из инволютивных матриц, также является инволютивной.
Матрица, транспонированная к инволютивной, также инволютивна.
Если матрица обладает любыми двумя из свойств: симметричность, ортогональность, инволютивность, то она обладает и третьим^[1].

Примеры

Матрица отражения является примером инволютивной матрицы.

Единичная матрица инволютивна.

Другие примеры инволютивных матриц:

{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}

(матрица, меняющая строку местами)

{\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}

(матрица знака).

Также, например, инволютивны все 2×2-матрицы вида:

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b\\{\frac {(1-a^{2})}{b}}&-a\end{pmatrix}}

См. также

Примечания

↑ Основы линейной алгебры, 1975, с. 29.

Литература

Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1975. — 400 с.

Похожие исследовательские статьи

Едини́чная ма́трица — квадратная матрица $\text{[math]}$ размера (порядка) $\text{[math]}$ , элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля, который представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся его элементы. Количество строк и столбцов задаёт размер матрицы. Матрицу можно также представить в виде функции двух дискретных аргументов. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Нильпотентный элемент — элемент кольца, некоторая степень которого обращается в ноль.

Ортогона́льная ма́трица — квадратная матрица $\text{[math]}$ с вещественными элементами, результат умножения которой на транспонированную матрицу $\text{[math]}$ равен единичной матрице:

\text{[math]}

В математике квадра́тная ма́трица — это матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, и это число называется порядком матрицы. Любые две квадратные матрицы одинакового порядка можно складывать и умножать.

Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу $\text{[math]}$ , что $\text{[math]}$ .

Пусть $\text{[math]}$ есть векторное пространство над полем $\text{[math]}$ .

Ортогональное преобразование — линейное преобразование $\text{[math]}$ евклидова пространства $\text{[math]}$ , сохраняющее длины или скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов $\text{[math]}$ выполняется равенство

\text{[math]}

Спино́р — специальное обобщение понятия вектора, применяемое для лучшего описания группы вращений евклидова или псевдоевклидова пространства.

В общей алгебре элемент $\text{[math]}$ кольца называется:

левым делителем нуля, если существует ненулевое

\text{[math]}

такое, что

\text{[math]}

правым делителем нуля, если существует ненулевое

\text{[math]}

такое, что

\text{[math]}

В линейной алгебре и функциональном анализе линейный оператор $\text{[math]}$ , действующий в линейном пространстве, называется прое́ктором если $\text{[math]}$ . Такой оператор называют идемпотентным.

В линейной алгебре базис векторного пространства размерности $\text{[math]}$ — это последовательность из $\text{[math]}$ векторов $\text{[math]}$ , таких, что любой вектор пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов. При заданном базисе операторы представляются в виде квадратных матриц. Так как часто необходимо работать с несколькими базисами в одном и том же векторном пространстве, необходимо иметь правило перевода координат векторов и операторов из базиса в базис. Такой переход осуществляется с помощью матрицы перехода.

Нулева́я ма́трица — это матрица, размера $\text{[math]}$ все элементы которой равны нулю. Она обозначается как $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$

Бетатронные колебания — быстрые поперечные колебания, совершаемые частицей в фокусирующих магнитных полях ускорителя. Бетатронные колебания — основной предмет изучения электронной оптики, раздела физики ускорителей.

Спектральное разложение матрицы или разложение матрицы на основе собственных векторов — это представление квадратной матрицы $\text{[math]}$ в виде произведения трёх матриц $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ — диагональная матрица с соответствующими собственными значениями на главной диагонали, $\text{[math]}$ — матрица, обратная матрице $\text{[math]}$ .

Идемпотентная матрица — матрица, идемпотентная относительно умножения матриц, то есть, матрица $\text{[math]}$ , для которой выполняется условие $\text{[math]}$ .

Нильпотентная матрица — матрица, являющаяся нильпотентным элементом относительно умножения, то есть матрица $\text{[math]}$ , для которой существует целое число $\text{[math]}$ такое, что выполняется условие $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — нулевая матрица.

В линейной алгебре квадратная матрица A называется диагонализируемой, если она подобна диагональной матрице, то есть если существует невырожденная матрица P, такая что P⁻¹AP является диагональной матрицей. Если V — конечномерное векторное пространство, то линейное отображение T : V → V называется диагонализируемым, если существует упорядоченный базис в V, при котором T представляется в виде диагональной матрицы. Диагонализацией называется процесс нахождения соответствующей диагональной матрицы для диагонализируемой матрицы или линейного отображения. Квадратная матрица, которую нельзя диагонализировать, называется дефектной.

Симплектическая матрица — это матрица M размера 2n×2n с вещественными элементами, которая удовлетворяет условию

Ассоциативная алгебра 2×2 вещественных матриц обозначается $\text{[math]}$ . Две матрицы p и q в $\text{[math]}$ имеют сумму $\text{[math]}$ , определяемую сложением матриц. Произведение матриц p q образуется скалярным произведением строк и столбец сомножителей через операцию умножения матриц. Для

\text{[math]}

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.