Индекс Аткинсона

Индекс Аткинсона — один из индексов социального неравенства. Предложен в 1970 году Энтони Барнсом Аткинсоном^{[1][прим. 1]}. Используется ведомством по переписи населения США^[2].

Отличительной особенностью индекса является возможность измерения смещений в распределении доходов среди сегментов с разными доходами. Индекс может быть превращён в нормативный показатель введением коэффициента ε для взвешивания доходов, который может принимать значения от 0 до ${\displaystyle \infty }$. Смещениям в заданной части распределения доходов может быть придан больший вес выбором подходящего ε, уровня «неприязни к неравенству» (англ. "inequality aversion"). Индекс Аткинсона становится более чувствительным к смещениям в нижней части распределения доходов по мере того как ε растёт. И наоборот, по мере того как уровень неприязни к неравенству уменьшается (то есть ε приближается к 0) индекс Аткинсона становится более чувствительным к смещениям в верхней части распределения доходов.

Индекс Аткинсона определяется как:

${\displaystyle A={\begin{cases}1-{\frac {1}{\mu }}\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}y_{i}^{1-\varepsilon }\right)^{1/(1-\varepsilon )}&\varepsilon \in \left[0,1\right)\\1-{\frac {1}{\mu }}\left(\prod _{i=1}^{N}y_{i}\right)^{1/N}&\varepsilon =1,\end{cases}}}$

где ${\displaystyle y_{i}}$ — уровень дохода индивида или группы i (i = 1, 2, …, N), μ — средняя арифметическая величина дохода:

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}y_{i}}$.

По сути выражения в скобках с учётом степени в формуле расчёта индекса Аткинсона представляют собой эквивалентный уровень дохода, который вычисляется как степенная средняя степени 1 - ε от отдельных значений дохода. Он соответствует уровню дохода при равномерном его распределении, при котором общество обладало бы таким же уровнем благосостояния, как и при исследуемом неравномерном распределении^[3].

Эквивалентный уровень дохода увеличивается с ростом:

1. неравномерности распределения дохода (из-за того, что сумма больше различающихся отдельных доходов в степени 1 - ε будет больше),
2. уровня неприязни к неравенству (при стремлении ε к бесконечности эквивалентный уровень дохода стремится к наименьшему из отдельных значений дохода).

ε рассматривается в качестве показателя отношения общества к сложившемуся социальному неравенству, под которым имеется в виду неравенство распределения общественного богатства^[3][1]. Значение ε = 0 означает, что общество равнодушно к распределению дохода, а с его ростом оно проявляет всё большую озабоченность или «неприязнь» к сложившемуся неравенству. При наибольшей неприязни, то есть при стремлении ε к бесконечности, становится возможным достижение того же уровня благосостояния в случае равномерного распределения при наименьшем из существующих в обществе уровней дохода, к которому стремится эквивалентный уровень дохода, что может быть охарактеризовано как абсолютное неприятие неравенства^[3].

Индекс Аткинсона может быть представлен как соотношение разницы эквивалентного уровня дохода и среднего уровня дохода к среднему уровню дохода, отражая, таким образом, долю сложившегося среднего (а, следовательно, и совокупного) дохода в обществе, которую оно платит за социальное неравенство^[1] , то есть показывая, насколько меньший доход потребовался бы обществу для обеспечения такого же уровня благосостояния.

С одной стороны выбор значения ε позволяет решить проблему выбора функции общественного благосостояния, но при этом нельзя выбрать однозначный (и тем более формализованный) вариант его нахождения^[3]. Поэтому необходимо руководствоваться лишь общими соображениями экономического характера как при определении ε, так и при его интерпретации.

Хотя индекс Аткинсона рассматривается как показатель социального неравенства благодаря тому, что он основан на таких категориях, как общественное благосостояние и функция полезности, но он предполагает, что индивидуальные функции полезности зависят только от дохода, что означает, при его расчёте социальное неравенство сводится к неравномерности распределения доходов^[1].

Индекс Аткинсона, как показатель измерения энтропии, может быть вычислен из «нормальзованного индекса Тейла»^[4]. Однако, это относится только к индексу Тейла ${\displaystyle {I_{1}}}$, который выводится на основе «категории обобщённой энтропии»^[5] при ${\displaystyle {\epsilon }=1}$. Индекс Аткинсона вычисляется с применением функции ${\displaystyle 1-e^{-T}}$.

• Список стран по показателям неравенства доходов
• Индекс развития человеческого потенциала

Примечания

1. ↑ Энтони Барнс Аткинсон разработал различные измерители. Индекс Аткинсона, который связан с индексом Тейла был описан Лионнелем Маугисом (англ. Lionnel Maugis) в работе Inequality Measures in Mathematical Programming for the Air Traffic Flow Management Problem with En-Route Capacities (published on occasion of IFORS 96), 1996

Сноски

1. ↑ ^{1 2 3 4} Елисеева И. И.: Социальная статистика Архивная копия от 29 июня 2018 на Wayback Machine. — М.: Финансы и статистика, 3-изд, 2001. — 480 с. ISBN 5-279-02347-7 (Раздел 5.8. «Дифференциация доходов»)
2. ↑ «Anthony Atkinson, a British economist and expert on inequality, died on January 1st» Архивная копия от 6 января 2017 на Wayback Machine, The Economist, 6.01.2017
3. ↑ ^{1 2 3 4} Гальперин В. В., Гальперин В. М.: 50 лекций по микроэкономике Архивная копия от 6 апреля 2009 на Wayback Machine. — 2004. (Лекция 44 «Перераспределение дохода»)
4. ↑ Juana Domínguez-Domínguez, José Javier Núñez-Velázquez: The Evolution of Economic Inequality in the EU Countries During the Nineties Архивная копия от 25 марта 2009 на Wayback Machine. 2005
5. ↑ James E. Foster in annexe A.4.1 (p.142) of: Amartya Sen, On Economic Inequality, 1973/1997

• Paul D. Allison, Measures of Inequality, American Sociological Review, 43 (December 1978), pp. 865—880, presents a technical discussion of the Atkinson measure’s properties.
• Amartya Sen, James E. Foster: On Economic Inequality, Oxford University Press, 1996 (Python script for a selection of formulas in the book)
• Income Inequality, 1947—1998, from the United States Census Office.
• Программное обеспечение:
  • Калькулятор межрегионального неравенства информационно-аналитической системы позволяет получить M-файлы для MatLab, позволяющие рассчитать коэффициент Джини, индекс Аткинсона и индекс Тейла.
  • (англ.) Бесплатный калькулятор в сети рассчитывает индекс Джини, чертит кривую Лоренца и рассчитывает другие показатели сосредоточенности для любых наборов данных.