Индекс особой точки

Индекс особой точки векторного поля — математическое понятие, относящееся к дифференциальной топологии, дифференциальной геометрии, теории динамических систем и теории дифференциальных уравнений. Является топологической характеристикой изолированной особой точки векторного поля и определяется как степень гауссова отображения в данной точке.

Пусть векторное поле ${\displaystyle \xi (x)}$ задано в окрестности точки ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$, являющейся изолированной особой точкой этого поля, то есть ${\displaystyle \xi (x_{0})=0}$ и при этом ${\displaystyle \xi (x)\neq 0}$ при всех ${\displaystyle x\neq x_{0}}$ из достаточно малой окрестности точки ${\displaystyle x_{0}}$. Индексом особой точки ${\displaystyle x_{0}}$ (обозначается ${\displaystyle \operatorname {ind} _{x_{0}}\xi }$) называется степень гауссова отображения ${\displaystyle (n-1)}$-мерной сферы ${\displaystyle S_{\varepsilon }^{n-1}}$ с центром ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ достаточно малого радиуса ${\displaystyle \varepsilon >0}$, выбранной так, что поле ${\displaystyle \xi }$ на ней не обращается в нуль, в сферу ${\displaystyle S_{1}^{n-1}}$. Именно, гауссово отображение ${\displaystyle f_{x_{0}}:S_{\varepsilon }^{n-1}\to S_{1}^{n-1}}$ определено по формуле: ${\displaystyle f_{x_{0}}(x)={\frac {\xi (x)}{|\xi (x)|}}\quad \forall \ x\in S_{\varepsilon }^{n-1}.}$

Особая точка ${\displaystyle x_{0}}$ векторного поля ${\displaystyle \xi (x)}$ называется невырожденной, если в ней выполнено условие

${\displaystyle \Delta =\operatorname {det} \left({\frac {\partial \xi ^{\alpha }}{\partial x^{\beta }}}{\Biggr |}_{x=x_{0}}\right)\neq 0.}$

Невырожденная особая точка всегда является изолированной, и её индекс равен знаку определителя ${\displaystyle \Delta }$.

Собственные значения ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$ приведённой выше матрицы (матрицы линейной части поля в данной точке) называются корнями невырожденной особой точки. Для градиентных полей ${\displaystyle \xi ^{\alpha }={\tfrac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}}$ индекс невырожденный особой точки совпадает со знаком гессиана:

${\displaystyle \operatorname {ind} _{x_{0}}\xi =\operatorname {sgn} {\Bigg |}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{\alpha }\partial x^{\beta }}}{\Biggr |}_{x=x_{0}}\right){\Bigg |}=(-1)^{i(x_{0})}}$,

где ${\displaystyle i(x_{0})}$ — количество отрицательных квадратов в каноническом представлении квадратичной формы ${\displaystyle d^{2}f{\bigr |}_{x=x_{0}}}$.

В двумерном евклидовом пространстве индекс невырожденных особых точек, образующих центр (все корни — мнимые), узел (все корни — вещественные одного знака), фокус (корни комплексно сопряжены) — равен ${\displaystyle 1}$, для седловых точек (вещественные корни разных знаков) — индекс равен ${\displaystyle -1}$.

• Индекс критической точки
• Теорема Пуанкаре о векторном поле
• Теорема о причёсывании ежа

• Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Любое издание.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Глава 3, §14, п 4. Индекс особой точки векторного поля // Современная геометрия. — 4-е изд.. — М.: Едиториал УРСС, 1998. — Т. Том 2. Геометрия и топология многообразий. — С. 90—92. — 280 с. — 1000 экз. экз. — ISBN 5-901006-27-5.
• Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. М: Мир, 1972.
• М. И. Войцеховский. Особой точки индекс // Математическая энциклопедия. — Советская энциклопедия (рус.). — М., 1977—1985.