Индекс подгруппы

Индекс подгруппы ${\displaystyle H}$ в группе ${\displaystyle G}$ ― число классов смежности в каждом (правом или левом) из разложений группы ${\displaystyle G}$ по этой подгруппе ${\displaystyle H}$ (в бесконечном случае ― мощность множества этих классов).

Индекс подгруппы ${\displaystyle H}$ в группе ${\displaystyle G}$ обычно обозначается ${\displaystyle [G:H]}$.

• Если число смежных классов конечно, то ${\displaystyle H}$ называется подгруппой конечного индекса в ${\displaystyle G}$.

• Пересечение конечного числа подгрупп конечного индекса само имеет конечный индекс (теорема Пуанкаре).
• Произведение порядка подгруппы ${\displaystyle H}$ на её индекс ${\displaystyle [G:H]}$ равно порядку группы ${\displaystyle G}$ (теорема Лагранжа).
  • Это соотношение имеет место как для конечной группы ${\displaystyle G}$, так и в случае бесконечной ${\displaystyle G}$ ― для соответствующих мощностей.
• Формула Дея — рекурсивная формула для выражения числа ${\displaystyle N_{n}}$ подгрупп данного индекса данной группы ${\displaystyle G}$ через число гомоморфизмов ${\displaystyle H_{n}}$ из ${\displaystyle G}$ в симметрическую группу ${\displaystyle S_{n}}$.

  ${\displaystyle N_{n}={\frac {H_{n}}{(n-1)!}}-\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {N_{i}{\cdot }H_{n-i}}{(n-i)!}}}$

• Wilfried Imrich^[англ.], On the number of subgroups of given index in ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} )}$, Archiv der Mathematik, December 1978, Volume 31, Number 1, 224-231