Индуктивная размерность

Индуктивная размерность — тип определения размерности топологического пространства, основанный на наблюдении, что сферы в Евклидовом пространстве имеют размерность на единицу меньше.

Существует два варианта определения индуктивной размерности, так называемые большая и малая индуктивные размерности; для пространства ${\displaystyle X}$ они обычно обозначаются ${\displaystyle \mathrm {Ind} \,X}$ и ${\displaystyle \mathrm {ind} \,X}$ соответственно. В большинстве топологических пространств встречающихся в приложениях обе размерности совпадают, и они также равны размерности Лебега.

По определению размерность пустого множества считается равной ${\displaystyle -1}$; то есть

${\displaystyle \mathrm {ind} \,\varnothing =\mathrm {Ind} \,\varnothing =-1}$

${\displaystyle \mathrm {ind} \,X}$ — малая индуктивная размерность топологического пространства ${\displaystyle X}$, определяется как наименьшее число ${\displaystyle n}$ такое, что для любой точки ${\displaystyle x\in X}$ и любой её открытой окрестности ${\displaystyle U}$, существует открытое множество ${\displaystyle W}$, что ${\displaystyle \mathrm {ind} \,\partial W\leq n-1}$, то есть малая индуктивная размерность границы ${\displaystyle W}$ не превосходит ${\displaystyle n-1}$ и

${\displaystyle x\in W\subset {\bar {W}}\subset U,}$

где ${\displaystyle {\bar {W}}}$ обозначает замыкание ${\displaystyle W}$.

${\displaystyle \mathrm {Ind} \,X}$ — большая индуктивная размерность определяется похожим способом: как наименьшее число ${\displaystyle n}$ такое, что для любого замкнутого множества ${\displaystyle K\subset X}$ и любой его открытой окрестности ${\displaystyle U}$, существует открытое множество ${\displaystyle W}$, что ${\displaystyle \mathrm {Ind} \,\partial W\leq n-1}$ и

${\displaystyle K\subset W\subset {\bar {W}}\subset U.}$

• Размерность Лебега является ещё одним вариантом определения размерности топологического пространства; термин «топологическая размерность» обычно используется именно для размерности Лебега, для пространства ${\displaystyle X}$ она обывно обозначаются ${\displaystyle \dim X}$.

• ${\displaystyle \dim X=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \operatorname {Ind} X=0.}$
• (Теорема Урысона) для нормального пространства ${\displaystyle X}$ со счётной базой, выполняется равенство

  ${\displaystyle \dim X=\operatorname {Ind} X=\operatorname {ind} X.}$

Иначе говоря, у сепарабельных и метризуемых пространств, обе индуктивные размерности совпадают с размерностью Лебега.

• Для метризуемых пространств ${\displaystyle X}$ выполнено следующее (Мирослав Катетов)

  ${\displaystyle \dim X=\operatorname {Ind} X\geq \operatorname {ind} X.}$

• Если пространство ${\displaystyle X}$ компактно и хаусдорфово то (П. С. Александров)

  ${\displaystyle \operatorname {Ind} X\geq \operatorname {ind} X\geq \dim X.}$

  • Оба эти неравенства могут быть строгими (В. В. Филиппов)

• Сепарабельное метрическое пространство ${\displaystyle X}$ удовлетворяет неравенству ${\displaystyle \operatorname {Ind} X\leq n}$ тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого подпространства ${\displaystyle A}$ пространства ${\displaystyle X}$, каждое непрерывное отображение ${\displaystyle f:A\to \mathbb {S} ^{n}}$ допускает непрерывное продолжение ${\displaystyle F:X\to \mathbb {S} ^{n}}$.

• Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973
• Crilly, Tony, 2005, «Paul Urysohn and Karl Menger: papers on dimension theory» in Grattan-Guinness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 844-55.
• R. Engelking, Theory of Dimensions. Finite and Infinite, Heldermann Verlag (1995), ISBN 3-88538-010-2.

• V. V. Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory, appearing in Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I, (1993) A. V. Arkhangel’skii and L. S. Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178-4.

• V. V. Filippov, On the inductive dimension of the product of bicompacta, Soviet. Math. Dokl., 13 (1972), N° 1, 250—254.
• A. R. Pears, Dimension theory of general spaces, Cambridge University Press (1975).