Индуктивное множество

Индуктивное множество — множество, элементами которого являются пустое множество и каждый следователь любых своих элементов. Следователем элемента множества называют множество, которое является объединением элемента и множества, содержащего этот элемент как свой единственный член (все элементы индуктивного множества являются множествами)^[1]. Об индуктивных множествах часто говорят в контексте аксиомы бесконечности.

С помощью индуктивного множества можно построить теоретико-множественную модель натуральных чисел.

При условии истинности аксиомы выбора все существующие множества являются либо индуктивными, либо рефлексивными, третьего не дано^[2]. Не существует множеств с мощностью, промежуточной между мощностями конечных и бесконечных множеств^[2].

Пусть ${\displaystyle X}$ — произвольное множество. $${\displaystyle \forall x\in X\quad x+1\in X.}$$

Пусть ${\displaystyle A}$ — произвольное множество. Следователем (по фон Нейману) множества ${\displaystyle A}$ называется множество ${\displaystyle A\cup \{A\}}$. Он обозначается ${\displaystyle S(A)}$.

Множество ${\displaystyle X}$ называется индуктивным, если выполнены 2 условия:

1. ${\displaystyle \varnothing \in X}$;
2. для каждого ${\displaystyle A\in X}$ ${\displaystyle S(A)}$ тоже входит в ${\displaystyle X}$.

Далее описываются свойства индуктивных множеств в теории множеств Цермело-Френкеля. В любое индуктивное множество входят элементы ${\displaystyle \varnothing ,S(\varnothing ),S(S(\varnothing )),S(S(S(\varnothing ))),\ldots }$. Более того, пересечение всех индуктивных множеств есть в точности совокупность элементов такого вида. При помощи множеств такого вида строится основное определение натуральных чисел в ZF (определение фон Неймана): ${\displaystyle 0}$ определяется как ${\displaystyle \varnothing }$, ${\displaystyle 1}$ — как ${\displaystyle S(\varnothing )}$, ${\displaystyle 2}$ — как ${\displaystyle S(S(\varnothing ))}$ и так далее. При таком определении множество натуральных чисел есть пересечение всех индуктивных множеств:

${\displaystyle \mathbb {N} =\bigcap \{x\;|\;x}$ — индуктивно${\displaystyle \}}$

Аксиома бесконечности в ZF обычно формулируется как «существует индуктивное множество». Из существования хотя бы одного индуктивного множества и схемы выделения сразу следует существование их пересечения, то есть множества натуральных чисел. Множество натуральных чисел является наименьшим по включению индуктивным множеством. Любое индукивное множество является бесконечным и даже более того, бесконечным по Дедекинду.

В теории множеств Цермело существование индуктивного множества нельзя ни доказать, ни опровергнуть, а натуральные числа там определяются по-другому.

Наименьшее индуктивное множество, содержащее 0 (или 1).

• Бесконечное множество
• Конечное множество
• Система Цермело-Френкеля

• Френкель А. А., Бар-Хиллел Р. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — 555 с.