Интеграл Борвейна

Интегралы Борвейна — интегралы, рассмотренные Дэвидом и Джонатаном Борвейнами, в которых задействована функция sinc^[1]^[2].

В этих интегралах появляется интересная закономерность, которая в конце исчезает:

{\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\pi /2\\[10pt]&\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,dx=\pi /2\\[10pt]&\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,dx=\pi /2\end{aligned}}

Эта закономерность продолжается до

\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx=\pi /2~.

Но на следующем шаге она нарушается^[3]:

{\begin{aligned}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\&\simeq {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}~.\end{aligned}}

В общем случае, такие интегралы равны π/2, если сумма обратных к числам 3, 5, 7, … 2k-1, где k — число сомножителей, меньше единицы.

В нашем примере 1/3 + 1/5 + … + 1/13 < 1, но 1/3 + 1/5 + … + 1/15 > 1.

Пример более длинного ряда:

\int \limits _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,dx=\pi /2

но

\int \limits _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{x/113}}\,dx<\pi /2,

как показано в статье Шмида Ханспетера^[4]. В этом случае это связано с тем, что 1/3 + 1/5 + … + 1/111 < 2, но 1/3 + 1/5 + … + 1/113 > 2.

Джонатан Борвейн, зная, что закономерность нарушается на восьмом элементе, написал в службу поддержки программного пакета Maple заявку о «баге». У разработчика Жака Каретта заняло трое суток понять, что это не ошибка^[5]^[6].

Примечания

↑ Borwein, David; Borwein, Jonathan M. (2001), "Some remarkable properties of sinc and related integrals", The Ramanujan Journal, 5 (1): 73—89, doi:10.1023/A:1011497229317, ISSN 1382-4090, MR 1829810
↑ Baillie, Robert (2011). "Fun With Very Large Numbers". arXiv:1105.3943 [math.NT].
↑ Математика, которая мне нравится Архивная копия от 17 мая 2017 на Wayback Machine Интересная последовательность
↑ Schmid, Hanspeter (2014), "Two curious integrals and a graphic proof" (PDF), Elemente der Mathematik, 69 (1): 11—17, doi:10.4171/EM/239, ISSN 0013-6018, Архивировано (PDF) 5 марта 2020, Дата обращения: 27 ноября 2016 Источник (неопр.). Дата обращения: 27 ноября 2016. Архивировано 5 марта 2020 года.
↑ Нескучные интегралы (Архивная копия от 28 ноября 2016 на Wayback Machine) // Хабрахабр
↑ Jacques Carette. Computer Algebra Errors, комментарий (неопр.). MathOverflow. Дата обращения: 31 марта 2019. Архивировано 31 марта 2019 года.

Похожие исследовательские статьи

Гамма-функция — математическая функция. Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

<span class="mw-page-title-main">Строфоида</span> кривая

Строфо́ида, или фока́ла Кетле́ (Кветеле́), — алгебраическая кривая 3-го порядка. Строится следующим образом :

Циссоида Диокла — плоская алгебраическая кривая третьего порядка. В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по $\text{[math]}$ , а ось ординат по $\text{[math]}$ , на отрезке $\text{[math]}$ , как на диаметре строится вспомогательная окружность. В точке $\text{[math]}$ проводится касательная $\text{[math]}$ . Из точки $\text{[math]}$ проводится произвольная прямая $\text{[math]}$ , которая пересекает окружность в точке $\text{[math]}$ и касательную в точке $\text{[math]}$ . От точки $\text{[math]}$ , в направлении точки $\text{[math]}$ , откладывается отрезок $\text{[math]}$ , длина которого равна длине отрезка $\text{[math]}$ . При вращении линии $\text{[math]}$ вокруг точки $\text{[math]}$ , точка $\text{[math]}$ описывает линию, которая называется Циссоида Диокла. Две ветви этой линии на рис. 1 показаны синим и красным цветами.

Ниже приведён список интегралов от экспоненциальной функции. В списке везде опущена константа интегрирования.

Ниже приведён список интегралов от тригонометрических функций. В списке везде опущена аддитивная константа интегрирования.

Преобразование Радона — интегральное преобразование функции многих переменных, родственное преобразованию Фурье. Впервые введено в работе австрийского математика Иоганна Радона 1917-го года.

Фу́нкции Бе́сселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

\text{[math]}

Интегра́льный си́нус — специальная функция, определяемая интегралом:

Эллипти́ческий интегра́л — некоторая функция $\text{[math]}$ над полем действительных или комплексных чисел, которая может быть формально представлена в следующем виде:

\text{[math]}

Фу́нкция Э́йри — частное решение дифференциального уравнения

\text{[math]}

Распределе́ние Лапла́са — в теории вероятностей это непрерывное распределение случайной величины, при котором плотность вероятности есть

\text{[math]}

Интегралы Френеля S(x) и C(x) — это специальные функции, названные в честь Огюстена Жана Френеля и используемые в оптике. Они возникают при расчёте дифракции Френеля и определяются как

\text{[math]}

Тригонометрический ряд Фурье — представление произвольной функции $\text{[math]}$ с периодом $\text{[math]}$ в виде ряда

<span class="mw-page-title-main">Универсальная тригонометрическая подстановка</span>

Универсальная тригонометрическая подстановка, в англоязычной литературе называемая в честь Карла Вейерштрасса подстановкой Вейерштрасса, применяется в интегрировании для нахождения первообразных, определённых и неопределённых интегралов от рациональных функций от тригонометрических функций. Без потери общности можно считать в данном случае такие функции рациональными функциями от синуса и косинуса. Подстановка использует тангенс половинного угла.

Функции Скорера — специальные функции, введённые Р. Скорером в 1950 году. Через них можно представить частные решения неоднородного дифференциального уравнения Эйри:

\text{[math]}

Карл Юхан Мальмстен — шведский математик и политический деятель. Известен своими ранними работами по комплексному анализу, теории некоторых специальных функций, а также как сооснователь математического журнала Acta Mathematica.

<span class="mw-page-title-main">Ряд обратных квадратов</span> вид бесконечного числового ряда

Ряд обратных квадратов — бесконечный ряд:

\text{[math]}

В 1760-х Иоганн Генрих Ламберт доказал, что число π иррационально, то есть не может быть представлено дробью a/b, где a — целое число, а b — ненулевое целое число. В XIX веке Чарльз Эрмит нашел еще одно доказательство, пользуясь только базовыми средствами математического анализа. В дальнейшем Мэри Картрайт, Айвен Нивен и Никола Бурбаки смогли упростить доказательство Эрмита, а Миклош Лацкович упростил доказательство Ламберта.

<span class="mw-page-title-main">Интеграл Дирихле</span>

В математике существует несколько интегралов, известных как интеграл Дирихле, названные в честь немецкого математика Петера Густава Лежена Дирихле, один из которых является несобственным интегралом функции sinc по положительной действительной прямой:

\text{[math]}

В математике тригонометрическая подстановка — это подстановка из тригонометрических функций для других выражений. В исчислении тригонометрическая подстановка — это метод вычисления интегралов. Более того, можно использовать тригонометрические тождества для упрощения некоторых интегралов, содержащих радикальное выражение. Как и другие методы интегрирования путём подстановки, при вычислении определённого интеграла может быть проще полностью вывести первообразную перед применением границ интегрирования.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.