Интеграл Дарбу

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Интеграл Дарбу — один из способов обобщения интеграла Римана на любые ограниченные на отрезке функции. Различают верхний и нижний интеграл Дарбу. Интегралы Дарбу геометрически представляют собой верхнюю и нижнюю площадь под графиком.

Определение

Для определения интегралов Дарбу прежде необходимо ввести вспомогательное понятие сумм Дарбу.

Нижняя (зеленая) и верхняя (серая) суммы Дарбу на 4 отрезках разбиения

Пусть на отрезке определена функция вещественного переменного .

Разбиением отрезка будем называть конечное множество точек этого отрезка, включающего в себя точки и . [1] Для удобства дальнейших записей будем вводить обозначения. Точки разбиения обозначим за , причём пронумеруем их в порядке возрастания (начиная с нуля):

.

Множество всех разбиений отрезка обозначим за .

Частичным отрезком разбиения назовём отрезок .

Длину частичного отрезка разбиения обозначим за .

Диаметром разбиения назовём максимальную длину частичного отрезка разбиения .[2]

Точные грани функции на частичных отрезках разбиения обозначим за и .

,
.

Тогда, нижней суммой Дарбу функции на разбиении называется

Верхней суммой Дарбу называется

[3]

Тогда нижним интегралом Дарбу называется

Верхним интегралом Дарбу называется

[4]

Альтернативные определения

Существуют также альтернативные определения интегралов Дарбу. Обычно они доказываются как свойства.

  • Нижний интеграл Дарбу есть предел нижних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю, а верхний есть предел верхних.[5]
  • Нижний интеграл Дарбу есть нижний предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, а верхний есть верхний предел.[6]

Свойства

Свойства сумм Дарбу

  • При любых произвольно взятых двух разбиениях одного и того же отрезка, нижняя сумма Дарбу на одном разбиении не превосходит верхней суммы Дарбу на другом разбиении.[7]
  • Нижние суммы Дарбу ограничены сверху, а верхние — снизу.[4]
Поведение нижней (зеленая) и верхней (серая) сумм Дарбу на измельчении разбиения
  • При добавлении к имеющемуся разбиению новых точек нижняя сумма Дарбу никак не может уменьшиться, а верхняя никак не может увеличиться.[7]
— измельчение .
Более того, изменению этих сумм можно дать следующую оценку.
Пусть d — диаметр , измельчение — получено добавлением не более чем точек к , и — точные грани функции на отрезке . Тогда
[5]
  • Пусть  — интегральная сумма. При любом произвольно взятом разбиении с отмеченными точками верно следующее неравенство:
[8]
  • Суммы Дарбу есть точные грани интегральных сумм на данном разбиении.[7] Пусть — множество всех возможных отмеченных точек на разбиении . Тогда
,
.

Свойства интегралов Дарбу

  • Для любой ограниченной на отрезке функции интегралы Дарбу существуют и конечны.[9] Для неограниченной сверху функции верхний интеграл равен , для неограниченной снизу нижний интеграл равен .
  • Для сумм и интегралов верны следующие неравенства
[9]
  • Основная лемма Дарбу. Предел нижних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю существует для любой ограниченной функции и равен нижнему интегралу Дарбу. Предел верхних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю существует для любой ограниченной функции существует и равен верхнему интегралу Дарбу.[5]
и
и
Основная лемма Дарбу устанавливает эквивалентность первого и второго определения интегралов Дарбу.
  • Критерий Дарбу. Интегрируемость по Риману на ограниченной на этом отрезке функции равносильна равенству верхнего и нижнего интегралов Дарбу на этом отрезке.
— интегрируема по Риману [10]

Вариации и обобщения

Кратный интеграл Дарбу

По аналогии с кратным интегралом Римана можно определить и кратный интеграл Дарбу. Пусть измеримое по Жордану множество, — его разбиение конечным числом измеримых по Жордану множеств. Обозначим множества этого разбиения за .

За обозначим меру Жордана .

Множество всех разбиений будем обозначать .

Диаметр разбиения определим как максимум из диаметров множеств разбиения (диаметр множества разбиения — точная верхняя грань расстояний между его точками).

Точные грани функции на множествах разбиения обозначим за и .

,
.

Тогда, нижней суммой Дарбу функции на разбиении называется

Верхней суммой Дарбу называется

[11]

Тогда нижним интегралом Дарбу называется

Верхним интегралом Дарбу называется

[12]

Все вышеперечисленные свойства сумм Дарбу и интегралов Дарбу, а также альтернативные определения сохраняются.[13]

Примечания

Литература

  • Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Начальный курс. — 2-е изд., перераб.. — М.: МГУ, 1985. — 662 с. с.
  • Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу: Учебник для университетов и пед. вузов. — М.: Высшая школа, 1999. — 695 с. с. — ISBN 5-06-003596-4.
  • Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. В 3-х томах. Том 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. — М.: Дрофа, 2003. — 704 p.