Интеграл Коши — Лагранжа

Интеграл Коши — Лагранжа — интеграл уравнений движения идеальной жидкости (уравнений Эйлера) в случае потенциальных течений. В отличие от интеграла Бернулли интеграл Коши — Лагранжа может применяться к нестационарным течениям, что позволяет применять его к анализу волн на поверхности жидкости.

Варианты названия

В русскоязычной литературе наряду с названием интеграл Коши — Лагранжа^[1] и интеграл Лагранжа — Коши^[2] используются термины интеграл Коши^[3], интеграл Лагранжа^[4]. В англоязычной литературе интеграл либо не имеет специального названия^[5], либо считается специальной формой интеграла Бернулли для неустановившихся течений (англ. unsteady form of Bernoulli's equation^[6], Bernoulli's theorem for unsteady potential flow^[7])

Историческая справка

В общем виде интеграл Коши — Лагранжа был установлен в 1755 году Леонардом Эйлером^[8]. Позже интеграл использовался Лагранжем в работе по теории течений идеальной жидкости^[9] и Коши в работе по теории гравитационных волн на поверхности жидкости^[10].

Формулировка

Течение несжимаемой жидкости в поле силы тяжести

Интеграл Коши — Лагранжа может быть введён только для потенциальных течений идеальной жидкости, для которых вектор скорости, $\mathbf {V}$ , выражается через потенциал скорости, $\mathbf {V} =\nabla \,\varphi (x,y,z,t)$ , или, что то же самое, для безвихревых (англ. irrotational) течений, в которых завихренность тождественно равна нулю: $\nabla \times \mathbf {V} \equiv 0$ ^[2]. В частном случае потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости в однородном поле силы тяжести интеграл Коши — Лагранжа имеет вид^[11]^[12]

{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {(\nabla \,\varphi )^{2}}{2}}+{\frac {p}{\rho }}+gz=f(t),

где — $p(x,y,z,t)$ — давление в жидкости, $\rho$ — её плотность (предполагается постоянной в модели несжимаемой жидкости), $g$ — ускорение свободного падения, $x$ , $y$ , $z$ — декартовы координаты (ось $z$ направлена вертикально вверх, против силы тяжести). Здесь $f(t)$ — некоторая функция времени, которую можно принять тождественно равной нулю, если сделать замену потенциала скорости ${\tilde {\varphi }}(x,y,z,t)=\varphi (x,y,z,t)-\int f(t)\,dt$ (при такой замене поле скоростей, определяемое пространственными производными от потенциала, не меняется).

Общий случай

В общем случае потенциального течения идеальной жидкости интеграл Коши — Лагранжа справедлив, если имеется однозначная связь между плотностью и давлением, $\rho =\rho (p)$ (такие течения называются баротропными). В этом случае векторное поле массовой силы (действующей на жидкость объемной силы, отнесённой к единице массы) обязательно будет потенциальным: $\mathbf {F} =-\nabla \,\Pi ,$ где $\Pi (x,y,z,t)$ — потенциал массовой силы (не путать с потенциалом скорости $\varphi$ ), и интеграл Коши — Лагранжа записывается в форме

{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {(\nabla \,\varphi )^{2}}{2}}+\int {\frac {dp}{\rho (p)}}+\Pi =f(t).

См. также

Примечания

↑ Седов Л. И., 1970, с. 149.
↑ ¹ ² Лойцянский Л. Г., 2003, §48. Интеграл Лагранжа — Коши. Некоторые общие свойства безвихревого движения, с. 163.
↑ Кочин, Кибель, Розе, 1963.
↑ Гидромеханика идеальной жидкости
↑ Ламб Г. §20 // Гидродинамика. — М.-Л.: ОГИЗ. ГИТТЛ, 1947. — С. 35-36. — 928 с.
↑ Kundu, Cohen, 2002, Unsteady Irrotational Flow, p. 121.
↑ Faber Т.Е. 4.3 Bernoulli's theorem for unsteady potential flow // Fluid dynamics for physicists (англ.). — Cambridge University Press, 1995. — P. 122-123. — 440 p.
↑
- Euler L. Principes généraux du mouvement des fluides // Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres. — Berlin, 1757 (1755). — Т. 11. — С. 274–315. Архивировано 7 декабря 2013 года.;
- русский перевод: Эйлер Л. Общие законы движения жидкостей // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. — 1999. — № 6. Архивировано 7 декабря 2013 года.;
- исторический комментарий:Михайлов Г. К. Становление гидравлики и гидродинамики в трудах петербургских академиков (XVIII век) // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. — 1999. — № 6. Архивировано 7 декабря 2013 года.
↑ Lagrange. Mémoire sur la théorie du mouvement des fluides // Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin. — 1781. Архивировано 7 декабря 2013 года.
↑ Cauchy. Théorie de la propagation des ondes à la surface d'un fluide pesant d'une profondeur indéfinie // Mémoires présentés par divers savants à l'Académie royale des Sciences de l'Institut de France. Sciences mathématiques et physiques. — 1827. — Т. 1.
↑ Лойцянский Л. Г., 2003, §48. Интеграл Лагранжа — Коши. Некоторые общие свойства безвихревого движения, с. 163—164: «Комбинация уравнений (15) и (12) при $\Pi =gz$ ».
↑ Кочин, Кибель, Розе, 1963: «уравнения (2.6), (2.7)».

Литература

Кочин Н. Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. — М.: Физматгиз, 1963. — Т. 1. — С. 114. — 584 с.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — Издание 4-е, стереотипное. — М.: Наука, 1988. — 736 с. — («Теоретическая физика», том VI).
Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Дрофа, 2003. — С. 163—166. — 842 с. — ISBN 5-7107-6327-6.
Седов Л. И. Глава 11. Потенциальные течения несжимаемой жидкости. Интеграл Коши — Лагранжа // Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1970. — Т. 2. — С. 149—157. — 568 с.
Kundu P. K., Cohen I. M. Fluid Mechanics (англ.). — Academic Press, 2002. — 730 p.

[_8ae05924e89d15cb-1] Седов Л. И., 1970, с. 149.

[_e9b76d7110029078-2] ¹ ² Лойцянский Л. Г., 2003, §48. Интеграл Лагранжа — Коши. Некоторые общие свойства безвихревого движения, с. 163.

[_7fe10116e4f0a377-3] Кочин, Кибель, Розе, 1963.

[4] Гидромеханика идеальной жидкости

[5] Ламб Г. §20 // Гидродинамика. — М.-Л.: ОГИЗ. ГИТТЛ, 1947. — С. 35-36. — 928 с.

[_fe685abe05f15f22-6] Kundu, Cohen, 2002, Unsteady Irrotational Flow, p. 121.

[7] Faber Т.Е. 4.3 Bernoulli's theorem for unsteady potential flow // Fluid dynamics for physicists (англ.). — Cambridge University Press, 1995. — P. 122-123. — 440 p.

[8] 
Euler L. Principes généraux du mouvement des fluides // Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres. — Berlin, 1757 (1755). — Т. 11. — С. 274–315. Архивировано 7 декабря 2013 года.;
русский перевод: Эйлер Л. Общие законы движения жидкостей // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. — 1999. — № 6. Архивировано 7 декабря 2013 года.;
исторический комментарий:Михайлов Г. К. Становление гидравлики и гидродинамики в трудах петербургских академиков (XVIII век) // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. — 1999. — № 6. Архивировано 7 декабря 2013 года.

[9] Euler L. Principes généraux du mouvement des fluides // Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres. — Berlin, 1757 (1755). — Т. 11. — С. 274–315. Архивировано 7 декабря 2013 года.;

[10] русский перевод: Эйлер Л. Общие законы движения жидкостей // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. — 1999. — № 6. Архивировано 7 декабря 2013 года.;

[11] исторический комментарий:Михайлов Г. К. Становление гидравлики и гидродинамики в трудах петербургских академиков (XVIII век) // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. — 1999. — № 6. Архивировано 7 декабря 2013 года.

[9] Lagrange. Mémoire sur la théorie du mouvement des fluides // Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin. — 1781. Архивировано 7 декабря 2013 года.

[10] Cauchy. Théorie de la propagation des ondes à la surface d'un fluide pesant d'une profondeur indéfinie // Mémoires présentés par divers savants à l'Académie royale des Sciences de l'Institut de France. Sciences mathématiques et physiques. — 1827. — Т. 1.

[_a4635c5864d11476-11] Лойцянский Л. Г., 2003, §48. Интеграл Лагранжа — Коши. Некоторые общие свойства безвихревого движения, с. 163—164: «Комбинация уравнений (15) и (12) при $\Pi =gz$ ».

[_62f736469ed707ec-12] Кочин, Кибель, Розе, 1963: «уравнения (2.6), (2.7)».

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]