Интеграл от секанса

Интегрирование тригонометрической функции секанса было предметом одной из «нерешённых задач середины семнадцатого века», которая была решена в 1668 году Джеймсом Грегори^[1]. В 1599 году Эдвард Райт оценил интеграл с помощью численных методов — то, что мы сегодня называем Римановыми суммами^[2]. Он нашёл решение для целей картографии — а именно, для построения точных проекций Меркатора^[1]. В 1640-х годах Генри Бонд, преподаватель навигации, геодезической съёмки и других математических дисциплин, сравнил таблицы значений интеграла от секанса, составленные Райтом с помощью численных методов, с таблицами логарифмов от тангенса, и гипотетически заключил^[1], что

\int \sec x\,dx=\ln \left|\operatorname {tg} \left({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C.

Эта гипотеза получила широкую известность. Исаак Ньютон упоминает о ней в своих письмах в 1665 году^[3]^[4].

Хотя Грегори доказал гипотезу Бонда в 1668 году в своих Exercitationes Geometricae, Исаак Барроу в 1670 году в Geometrical Lectures решил задачу более изящным методом. Его решение было самым ранним случаем использования разложения дробей при интегрировании^[1]. В соответствии с принятыми в наше время обозначениями, решение Барроу начинается так:

\int \sec x\,dx=\int {\frac {dx}{\cos x}}=\int {\frac {\cos x\,dx}{\cos ^{2}x}}=\int {\frac {\cos x\,dx}{1-\sin ^{2}x}}=\int {\frac {dt}{1-t^{2}}}.

Это упрощает задачу нахождения первообразных рациональных функций за счёт использования разложения дробей. Дальнейшее решение задачи выглядит следующим образом:

{\begin{aligned}\int {\frac {dt}{1-t^{2}}}&=\int {\frac {dt}{(1-t)(1+t)}}=\int \left({\frac {1/2}{1+t}}+{\frac {1/2}{1-t}}\right)\,dt=\\[10pt]&={\frac {1}{2}}\ln \left|1+t\right|-{\frac {1}{2}}\ln \left|1-t\right|+C={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+t}{1-t}}\right|+C.\end{aligned}}

И в конечном счёте, выполнив обратную замену $t=\sin x,$ возвращаемся к функции от переменной x. Окончательно интеграл может быть записан в следующих эквивалентных формах:

\int \sec x\,dx=\left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {1}{2}}\ln \left|{\dfrac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right|+C\\[15pt]\ln \left|\sec x+\operatorname {tg} x\right|+C\\[15pt]\ln \left|\operatorname {tg} \left({\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C\\[15pt]\operatorname {arsh} \left(\operatorname {tg} x\right)+C=\operatorname {arch} \left(\sec x\right)+C=\operatorname {arth} \left(\sin x\right)+C\\[15pt]\end{array}}\right\}=\operatorname {lam} x+C.

Здесь через $\operatorname {lam} x$ обозначен ламбертиан — функция, обратная функции Гудермана. Меркаторская проекция сферы на плоскость описывается именно этой функцией, дающей зависимость вертикальной координаты y точки-проекции от географической широты x точки-прообраза: y = lam x.

Интеграл может быть также взят с помощью универсальной тригонометрической подстановки, но в этом случае решение будет выглядеть несколько сложнее, чем то, которое приведено выше.

Примечания

↑ ¹ ² ³ ⁴ V. Frederick Rickey and Philip M. Tuchinsky, «An Application of Geography to Mathematics: History of the Integral of the Secant», Mathematics Magazine, volume 53, number 3, May 1980, pages 162—166.
↑ Edward Wright, Certaine Errors in Navigation, Arising either of the ordinaire erroneous making or vsing of the sea Chart, Compasse, Crosse staffe, and Tables of declination of the Sunne, and fixed Starres detected and corrected, Valentine Simms, London, 1599.
↑ H. W. Turnbull, editor, The Correspondence of Isaac Newton, Cambridge University Press, 1959—1960, volume 1, pages 13-16 and volume 2, pages 99-100.
↑ D. T. Whiteside, editor, The Mathematical Papers of Isaac Newton, Cambridge University Press, 1967, volume 1, pages 466—467 and 473—475.