Интерполяционная формула Уиттекера — Шеннона

Интерполяционная формула Уиттекера — Шеннона служит для восстановления непрерывного сигнала с ограниченным спектром из последовательности равноотстоящих отсчётов.

Интерполяционная формула, как её обычно называют, восходит к работе Эмиля Бореля, датированной 1898 годом, и к работе Эдмунда Уиттекера, датированной 1915 годом. Интерполяционная формула была процитирована из работы сына Эдмунда Уиттекера — Джона Макнейтена Уиттекера, датированной 1935 годом, в виде теоремы отсчётов Найквиста — Шеннона в 1949 году, автором редакции был Клод Шеннон, до Шеннона данную теорему сформулировал Котельников. Также интерполяционную формулу обычно называют интерполяционной формулой Шеннона, или интерполяционной формулой Уиттекера.

Теорема отсчётов гласит, что при некоторых ограничивающих условиях функция ${\displaystyle x(t)}$ может быть восстановлена из её дискретизации, ${\displaystyle x[n]=x(nT)}$, согласно интерполяционной формуле Уиттекера — Шеннона:

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {t-nT}{T}}\right),}$

где ${\displaystyle T=1/f_{s}}$ — период дискретизации, ${\displaystyle f_{s}}$ — частота дискретизации, ${\displaystyle \mathrm {sinc} \,x}$ — нормализированная sinc-функция.

Есть два граничных условия, которым должна удовлетворить функция ${\displaystyle X(t)}$, для того чтобы выполнялась интерполяционная формула:

1. ${\displaystyle x(t)}$ должно быть ограничено. Преобразование Фурье для функции ${\displaystyle x(t)}$ должно обладать следующим свойством: ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{x(t)\}=X(f)=0}$ для ${\displaystyle |f|>B}$, где ${\displaystyle B>0}$.
2. Частота дискретизации ${\displaystyle f_{s}}$ должна по крайней мере более чем в два раза превышать диапазон частот, ${\displaystyle f_{s}>2B}$, или что эквивалентно:

${\displaystyle T<{\frac {1}{2B}},}$

где ${\displaystyle T}$ — период дискретизации.

Интерполяционная формула воссоздаёт оригинальный сигнал ${\displaystyle x(t)}$ только тогда, когда эти два условия будут выполнены. В противном случае возникает наложение высокочастотных компонентов на низкочастотные — алиасинг.

Интерполяционная формула выведенная в теореме Котельникова указывает на то что, она также может быть выражена как свёртка «гребёнки» Дирака с sinc-функцией:

${\displaystyle x(t)=\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)\right)*\mathrm {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right).}$

Это эквивалентно фильтрации «гребёнкой» Дирака с помощью идеального низкочастотного фильтра.

Интерполяционная формула всегда сходится, конечно и локально равномерно при условии:

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} ,\;n\neq 0}\left|{\frac {x[n]}{n}}\right|<\infty .}$

Неравенство Гёльдера считается выполненным, если последовательность ${\displaystyle \{x[n]\}_{n\in \mathbb {Z} }}$ принадлежит к любому из ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} ,\;\mathbb {C} )}$-пространств, где ${\displaystyle 1<p<\infty }$, что эквивалентно условию:

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }|x[n]|^{p}<\infty .}$

Это условие достаточно, но не необходимо.

Если ${\displaystyle \{x(n)\}}$ — бесконечная последовательность отсчётов дискретной функции в широком смысле стационарного процесса, и она не является членом любого ${\displaystyle \ell ^{p}}$ или ${\displaystyle L^{p}}$-пространства, с вероятностью 1; то сумма этих отсчётов, возведённых в степень ${\displaystyle p}$, не принимает конечного ожидаемого значения. Несмотря на то, что интерполяционная формула сходится с вероятностью 1. Сходимость легко может быть показана путём расчёта разницы в ограниченных условиях суммирования, и свидетельствует о том, что разницу можно сделать сколь угодно малой при выборе достаточного количества условий. Если этот процесс отличен от нуля, тогда пары условий должны быть учтены таким образом, чтобы показать, что ожидаемое значение из ограниченных выражений сходится к нулю.

Поскольку случайный процесс не имеет преобразования Фурье, условие, при котором сумма сходится к оригинальной функции, должно также быть другим. Неизменный случайный процесс имеет автокорреляционную функцию и, следовательно, монохроматическую плотность в соответствии с теоремой Винера — Хинчина. Достаточным условием сходимости к дискретной функции от этого процесса является то, что спектральная плотность равна нулю на всех частотах, больше либо равных половины дискретизации.