Инъективное метрическое пространство

Инъективное метрическое пространство — метрическое пространство, обладающее определёнными свойствами; такими пространствами являются вещественная прямая, все метрические деревья, ${\displaystyle L^{\infty }}$ и другие.

Полное геодезическое метрическое пространство ${\displaystyle X}$ называется инъективным (или гипервыпуклым), если произвольное семейство шаров в ${\displaystyle X}$ имеет общую точку, если любые два шара в этом семействе пересекаются.

• Пространство ${\displaystyle X}$ называется ${\displaystyle n}$-гипервыпуклым если любое семейство из ${\displaystyle n}$ закнутых шаров ${\displaystyle {\bar {B}}[x_{i},r_{i}]}$ таких, что ${\displaystyle r_{i}+r_{j}\geq |x_{i}-x_{j}|_{X}}$ имеет общую точку.
  • ${\displaystyle 2}$-гипервыпуклое пространство также называется выпуклым.
• Пространство ${\displaystyle X}$ называется конечно или счётно гипервыпуклым если тоже условие выполняется для любого конечного (соответственно счётного) семейства шаров.

• Вещественная прямая, а также любой замкнутый интервал инъективвен.
• Пространство ограниченных функций на любом пространстве с sup-нормой инъективно.
• Любое метрическое дерево инъективно.
• Пространство ${\displaystyle \ell ^{1}}$ является 3-гипервыпуклым, но не 4-гипервыпуклым.
• Пространство Урысона ${\displaystyle \mathbb {U} }$ является конечно гипервыпуклым, но не счётно гипервыпуклым.

• В инъективном пространстве радиус любого множества равен половине его диаметра.
  • Таким образом, инъективные пространства удовлетворяют самой сильной форме теоремы Юнга.
• Инъективное пространство является полным.
• Любое короткое отображение инъективного пространства конечного диаметра в себя фиксирует точку.
• Метрическое пространство является инъективным тогда и только тогда, когда оно является инъективным объектом в категории метрических пространств и коротких отображений по отношению к экстремальным мономорфизмам.
  • Иначе говоря, пространство ${\displaystyle X}$ является инъективным, если для любого короткого отображения ${\displaystyle f\colon A\to X}$ и изометрического вложения ${\displaystyle \phi \colon A\to B}$ существует короткое отображение ${\displaystyle g\colon B\to X}$ такое, что ${\displaystyle f=g\circ \phi }$.
• Любое метрическое пространство вкладывается в так называемую инъективную оболочку — минимальное инъективное пространство, содержащее исходное. (Инъективная оболочка аналогична выпуклой оболочке.)
  • Инъективная оболочка данного метрического пространства определяется однозначно с точностью до изометрии, коммутирующей с вложением.
• Конечно гипервыпуклое ограниченно компактное пространство инъетивно.
• Полное 4-гипервыпуклое пространство конечно гипервыпукло.^[1]

• Категория метрических пространств

• Isbell, J. R. Six theorems about injective metric spaces (англ.) // Commentarii Mathematici Helvetici^[англ.] : journal. — 1964. — Vol. 39. — P. 65—76. — doi:10.1007/BF02566944.