Каинова группа

Ка́инова группа — группа, совпадающая со своим коммутантом.

Некоторые авторы используют термин «совершенная группа» (от англ. perfect group). Это создаёт путаницу с другим одноимённым понятием, которое в англоязычной литературе обычно называется «полной (complete) группой».

Группа ${\displaystyle G}$ называется каиновой^[1], если она удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

• Она совпадает со своим коммутантом: ${\displaystyle [G,G]=G}$.
• Её абелианизация тривиальна: ${\displaystyle G^{ab}=0}$.
• Любой гомоморфизм ${\displaystyle f\colon G\to A}$ из неё в произвольную абелеву группу ${\displaystyle A}$ тривиален: ${\displaystyle {\rm {Im}}(f)=0}$.
• Среди её факторгрупп абелевой является лишь тривиальная группа.

Простейшим примером каиновой группы является знакопеременная группа ${\displaystyle A_{5}}$. В действительности, для любого ${\displaystyle n\geq 5}$ группа ${\displaystyle A_{n}}$ является каиновой. Более того, как следует непосредственно из определения, любая простая группа, не являющаяся абелевой (точнее, циклической), каинова. Наконец, любая квазипростая группа^[англ.] является каиновой.

Специальная линейная группа ${\displaystyle {\rm {SL}}_{2}(\mathbb {R} )}$ является каиновой. Более того, любая полупростая группа Ли является каиновой^[1].

Любая нетривиальная каинова группа является неразрешимой.

Прямое произведение каиновых групп является каиновой. Любая факторгруппа каиновой группы каинова.

Согласно лемме Грюна, центр факторгруппы ${\displaystyle G/Z(G)}$ каиновой группы ${\displaystyle G}$ по её центру тривиален.

Если матричная группа является каиновой, то она унимодулярна, то есть каждый её элемент является унимодулярной матрицей. Это следует из того, что определитель ${\displaystyle {\rm {det}}\colon {\rm {GL}}_{n}(R)\to R^{\times }}$ — гомоморфизм из полной линейной группы над произвольным коммутативным кольцом ${\displaystyle R}$ в мультипликативную группу^[англ.] этого кольца, являющуюся абелевой.

Связная группа Ли является каиновой тогда и только тогда, когда для её алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ выполняется соотношение ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}^{2}}$^[1].

Название понятия отсылает к убийству Авеля Каином. Согласно одному из определений, группа каинова, если тривиальна её абелианизация (названа в честь Нильса Хенрика Абеля). «Абель» — другая форма имени «Авель».

Термин предложен Александром Дмитриевичем Вентцелем и Владимиром Яковлевичем Лином^[2].

• Постников, М. М. Лекции по геометрии. Семестр 5: Группы и алгебры Ли (рус.). — 1. — Наука, 1982. — 447 с.

• Лин, В. Я. Косы Артина и связанные с ними группы и пространства // Итоги науки и техники. Серия «Алгебра. Топология. Геометрия». — 1979. — Т. 17. — С. 159–227.