Канторова лестница

Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции $[0,1]\to [0,1]$ , которая не является константой, но при этом имеет производную, равную нулю в почти всех точках (сингулярной функции). Иногда называется «Чёртовой лестницей» или «дьявольской лестницей».^[1]

Построения

Стандартное

В точках 0 и 1 значение функции принимается равным соответственно 0 и 1. Далее интервал (0, 1) разбивается на три равные части $\left(0,{\frac {1}{3}}\right)$ , $\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)$ и $\left({\frac {2}{3}},1\right)$ . На среднем сегменте полагаем $F(x)={\frac {1}{2}}$ . Оставшиеся два сегмента снова разбиваются на три равные части каждый, и на средних сегментах $F(x)$ полагается равной ${\frac {1}{4}}$ и ${\frac {3}{4}}$ . Каждый из оставшихся сегментов снова делится на три части, и на внутренних сегментах $F(x)$ определяется как постоянная, равная среднему арифметическому между соседними, уже определенными значениями $F(x)$ . На остальных точках единичного отрезка определяется по непрерывности. Полученная функция называется канторовой лестницей.

По двоичной и троичной записи

Любое число $x\in [0,1]$ можно представить в троичной системе счисления $x=(0{,}a_{1}a_{2}\dots )_{3}$ , $a_{i}\in \{0,1,2\}$ . Если в записи $0{,}a_{1}a_{2}\dots$ встречается 1, выбросим из неё все последующие цифры и в оставшейся последовательности заменим каждую двойку на 1. Получившаяся последовательность $0{,}b_{1}b_{2}\dots$ даёт запись значения канторовой лестницы в точке $x$ в двоичной системе счисления.

Свойства

Производная канторовой лестницы определена и равна нулю во всех точках, кроме канторова множества.
Канторова лестница непрерывна, ограниченной вариации, но не абсолютно непрерывна.
Канторова лестница не обладает свойством Лузина.

См. также

Ссылки

↑ Weisstein, Eric W. Devil's Staircase (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Похожие исследовательские статьи

Математи́ческий ана́лиз — совокупность разделов математики, соответствующих историческому разделу под наименованием «анализ бесконечно малых», объединяет дифференциальное и интегральное исчисления.

Произво́дная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой.

Выпуклая функция — функция, надграфик или подграфик которой является выпуклым множеством.

Дифференци́руемая фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал. Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет значительное число приложений как в самой математике, так и в других естественных науках.

Уравне́ние — равенство вида

\text{[math]}

Ноль — целое число, которое при сложении с любым числом или вычитании из него не меняет последнее, то есть даёт результат, равный этому последнему; умножение любого числа на ноль даёт ноль.

Де́льта-фу́нкция — обобщённая функция, которая позволяет записать точечное воздействие, а также пространственную плотность физических величин, сосредоточенных или приложенных в одной точке.

Вариацио́нное исчисле́ние — раздел анализа, в котором изучаются вариации функционалов. Наиболее типичная задача — найти функцию, на которой заданный функционал достигает экстремального значения.

Краевая задача — задача о нахождении решения заданного дифференциального уравнения, удовлетворяющего краевым (граничным) условиям в концах интервала или на границе области. Краевые задачи для гиперболических и параболических уравнений часто называют начально-краевыми или смешанными, потому что в них задаются не только граничные, но и начальные условия.

Дифференциа́льная геоме́трия кривы́х — раздел дифференциальной геометрии, который занимается исследованием гладких пространственных и плоских кривых в евклидовом пространстве аналитическими методами.

<span class="mw-page-title-main">Интеграл Лебега</span>

Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций.

Уравне́ния Э́йлера — Лагра́нжа являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации и совместно с принципом стационарности действия используются для вычисления траекторий в механике. В теоретической физике вообще это (классические) уравнения движения в контексте получения их из написанного явно выражения для действия (лагранжиана).

Однородная функция степени $\text{[math]}$ — числовая функция $\text{[math]}$ такая, что для любого $\text{[math]}$ из области определения функции $\text{[math]}$ и любого $\text{[math]}$ выполняется равенство:

\text{[math]}

Дифференциа́льное уравне́ние в ча́стных произво́дных — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.

Непреры́вное равноме́рное распределе́ние в теории вероятностей — распределение случайной вещественной величины, принимающей значения, принадлежащие некоторому промежутку конечной длины, характеризующееся тем, что плотность вероятности на этом промежутке почти всюду постоянна.

Функция «вопросительный знак» Минковского — построенная Германом Минковским монотонная сингулярная функция $\text{[math]}$ на отрезке $\text{[math]}$ , обладающая рядом замечательных свойств. Так, она взаимно-однозначно и с сохранением порядка переводит квадратичные иррациональности на отрезке $\text{[math]}$ в рациональные числа на том же отрезке, а рациональные числа — в двоично-рациональные. Она связана с рядами Фарея, цепными дробями, и дробно-линейными преобразованиями, а её график обладает рядом интересных симметрий.

Формула Ньютона — Лейбница, или основная формула анализа, или формула Барроу даёт соотношение между двумя операциями: взятием интеграла Римана и вычислением первообразной.

<span class="mw-page-title-main">Квадратичная функция одной переменной</span> функция, возможно нескольких переменных, задаваемая многочленом второй степени

Квадратичная функция — целая рациональная функция второй степени вида $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ . Уравнение квадратичной функции содержит квадратный трёхчлен. Графиком квадратичной функции является парабола. Многие свойства графика квадратичной функции так или иначе связаны с вершиной параболы, которая во многом определяет положение и внешний вид графика.

Метод трапеций — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольными трапециями. Алгебраический порядок точности равен 1.

Вторая производная или производная второго порядка функции $\text{[math]}$ является производной от производной от $\text{[math]}$ . Грубо говоря, вторая производная измеряет, как изменяется скорость изменения самой величины; например, вторая производная положения объекта по времени — это мгновенное ускорение объекта или скорость изменения скорости объекта по времени. В нотации Лейбница:

\text{[math]}

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.