Категория 𝒪

Категория ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ — математический объект в теории представлений полупростых алгебр Ли. Это категория, чьи объекты — определённые представления полупростой алгебры Ли, а морфизмы — гомоморфизмы представлений.

Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — (обычно комплексная) полупростая алгебра Ли с подалгеброй Картана^[англ.] ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, а ${\displaystyle \Phi }$ — система корней^[англ.] и ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ — система положительных корней. Обозначим ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ пространство корней соответствующее корню ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ и ${\displaystyle {\mathfrak {n}}:=\oplus _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ — нильпотентная^[англ.] подалгебра.

Если ${\displaystyle M}$ — ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модуль и ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$, то ${\displaystyle M_{\lambda }}$ is the весовое пространство^[англ.]

${\displaystyle M_{\lambda }=\{v\in M;\,\,\forall \,h\in {\mathfrak {h}}\,\,h\cdot v=\lambda (h)v\}.}$

Объекты категории ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ — ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модули ${\displaystyle M}$, такие что

1. ${\displaystyle M}$ — конечнопорождённый
2. ${\displaystyle M=\oplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}M_{\lambda }}$
3. ${\displaystyle M}$ локально ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$-конечен, т.е., для каждого ${\displaystyle v\in M}$, ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$-модуль порождённый ${\displaystyle v}$ — конечномерный.

Морфизмы этой категории — ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-гомоморфизмы этих модулей.

• У каждого модуля в категории ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ есть конечнопорождённое весовое пространство^[англ.].
• Каждый модуль в категории ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ — Нётеров модуль.
• ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ — абелева категория
• У ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ есть достаточно много проективных и инъективных объектов.
• ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ замкнута по отношению к подмодулям, частным и конечным прямым суммам
• Объекты в ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle Z({\mathfrak {g}})}$-конечны, т.е., если ${\displaystyle M}$ объект и ${\displaystyle v\in M}$, то подпространство ${\displaystyle Z({\mathfrak {g}})v\subseteq M}$ порождённое ${\displaystyle v}$ под действием центра^[англ.] универсальной обёртывающей алгебры, конечномерное.

• Все конечномерные ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модули и их ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-гоморфизмы принадлежат категории ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$.
• Модуль Верма^[англ.] и обобщенные модули Верма^[англ.] и их ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-гомоморфизмы принадлежат категории ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$.

• Универсальная обёртывающая алгебра
• Категория старшего веса^[англ.]

• Humphreys, James E. (2008), Representations of semisimple Lie algebras in the BGG category O (PDF), AMS, ISBN 978-0-8218-4678-0, Архивировано из оригинала (PDF) 21 марта 2012, Дата обращения: 23 сентября 2018 Архивная копия от 21 марта 2012 на Wayback Machine