Квадратичная задача собственных значений

Квадратичная задача собственных значений (КЗСЗ)^[1] — это задача поиска скалярных собственных значений ${\displaystyle \lambda }$, левых и правых собственных векторов ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle x}$, таких что

${\displaystyle Q(\lambda )x=0{\text{ и }}y^{\ast }Q(\lambda )=0,}$

где функция (с матрицами в качестве значений) ${\displaystyle Q(\lambda )=\lambda ^{2}A_{2}+\lambda A_{1}+A_{0}}$, а коэффициенты являются матрицами ${\displaystyle A_{2},\,A_{1},A_{0}\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$. Мы также требуем, чтобы ${\displaystyle A_{2}\,\neq 0}$. Имеется ${\displaystyle 2n}$ собственных значений, которые могут быть конечными или бесконечными, а возможно и нулевыми. Задача является частным случаем нелинейной задачи собственных значений. Функция ${\displaystyle Q(\lambda )}$ известна также как квадратный матричный многочлен.

КЗСЗ может быть получена в динамическом анализе структур, дискретизированных методом конечных элементов. В этом случае квадратный многочлен ${\displaystyle Q(\lambda )}$ имеет вид ${\displaystyle Q(\lambda )=\lambda ^{2}M+\lambda C+K}$, где ${\displaystyle M}$ является матрицей масс, ${\displaystyle C}$ является матрицей затухания^[англ.], а ${\displaystyle K}$ является матрицей жёсткости. Другими приложениями являются виброакустика и динамика жидкостей.

Прямые методы решения стандартной или обобщённой задач собственных значений ${\displaystyle Ax=\lambda x}$ и ${\displaystyle Ax=\lambda Bx}$ основываются на преобразовании задачи к форме Шура или обобщённой форме Шура. Для квадратичных матричных многочленов, однако, аналогичной формы нет. Одним из подходов является преобразование квадратичного матричного многочлена в линейный пучок матриц (${\displaystyle A-\lambda B}$) и решение обобщённой задачи собственных значений. После того, как собственные значения и собственные вектора линейной задачи определены, можно найти собственные значения и собственные вектора квадратичной задачи.

Наиболее часто используется линеаризация

${\displaystyle L(\lambda )=\lambda {\begin{bmatrix}M&0\\0&E_{n}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}C&K\\-E_{n}&0\end{bmatrix}},}$

где ${\displaystyle E_{n}}$ — ${\displaystyle n\times n}$ единичная матрица, вместе с собственным вектором

${\displaystyle z={\begin{bmatrix}\lambda x\\x\end{bmatrix}}.}$

Мы решаем уравнение ${\displaystyle L(\lambda )z=0}$ по ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle z}$, например вычисляя обобщённую форму Шура. Затем мы можем взять первые ${\displaystyle n}$ элементов вектора ${\displaystyle z}$ в качестве собственного вектора ${\displaystyle x}$ исходной квадратичной функции ${\displaystyle Q(\lambda )}$.

• F. Tisseur, K. Meerbergen. The quadratic eigenvalue problem // SIAM Rev. — 2001. — Вып. 43.