Квадратичное поле

Квадратичное поле — алгебраическое числовое поле степени 2 над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Можно доказать, что отображение ${\displaystyle d\mapsto \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ задаёт биекцию между множеством свободных от квадратов целых чисел и множеством всех попарно неизоморфных квадратичных полей. Если ${\displaystyle d>0,}$ квадратичное поле называется действительным, в противном случае — мнимым или комплексным.

Для любого алгебраического числового поля можно рассмотреть его кольцо целых, то есть множество элементов, являющихся корнями приведенных многочленов с целыми коэффициентами. В случае квадратичного поля это корни приведенных квадратных уравнений с целыми коэффициентами, все числа такого вида нетрудно описать.

Пусть ${\displaystyle D}$ — свободное от квадратов целое число, сравнимое с 2 или 3 по модулю 4. Тогда кольцо целых соответствующего квадратичного поля (обозначаемое ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}})}}$) — это множество линейных комбинаций вида ${\displaystyle a+b{\sqrt {D}}}$ (квадратичных иррациональностей), где ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$, с обычными операциями сложения и умножения комплексных чисел. Соответственно, если ${\displaystyle D\equiv 1{\pmod {4}}}$, кольцо целых состоит из чисел вида ${\displaystyle a+b\cdot {\tfrac {1+{\sqrt {D}}}{2}}}$, где ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$.

• Классический пример — кольцо гауссовых целых чисел, соответствующее случаю ${\displaystyle D=-1}$. Это кольцо было впервые описано Гауссом около 1800 года, для того, чтобы сформулировать биквадратичный закон взаимности.^[1]
• Случаю ${\displaystyle D=-3}$ (так как −3 сравнимо с 1 по модулю 4) соответствуют целые числа Эйзенштейна.

Дискриминант квадратичного поля ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ равен d, когда d сравнимо с 1 по модулю 4, и 4d в противном случае. Например, дискриминант поля гауссовых рациональных чисел равен −4.

Любое кольцо целых является дедекиндовым, поэтому для любого его идеала существует и единственно разложение на простые идеалы. Пусть p — простое число, тогда для главного идеала, порожденного p в ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ (K — произвольное квадратичное поле) возможны следующие три случая:

• (p) — простой идеал. Факторкольцо по нему — конечное поле из p² элементов:

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}\cong \mathbb {F} _{p^{2}}}$

• (p) раскладывается в произведение двух различных простых идеалов.

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}\cong \mathbb {F} _{p}\times \mathbb {F} _{p}}$

• (p) — квадрат простого идеала. Тогда факторкольцо по нему содержит ненулевые нильпотенты.

Третий случай происходит тогда и только тогда, когда p делит дискриминант поля D (например, идеал (2) является квадратом идеала (1+i) в кольце гауссовых целых чисел). Первый и второй случаи происходят когда символ Кронекера ${\displaystyle \left({\tfrac {D}{p}}\right)}$ равен −1 и 1 соответственно.

• Duncan Buell. Binary quadratic forms: classical theory and modern computations (англ.). — Springer-Verlag, 1989. — ISBN 0-387-97037-1. Chapter 6.
• Pierre Samuel. Algebraic number theory (неопр.). — Hermann/Kershaw, 1972.
• I.N. Stewart^[англ.]; D.O. Tall. Algebraic number theory (неопр.). — Chapman and Hall, 1979. — ISBN 0-412-13840-9. Chapter 3.1.
• Dummit, D. S., Foote, R. M., 2004. Abstract Algebra, 3rd ed.