Квадратная антипризма

Однородная квадратная антипризма
Однородная квадратная антипризма
	; Квадратная антипризма
Тип	Призматический однородный; многогранник
Свойства	выпуклый многогранник
Комбинаторика
	16 рёбер; 8 вершин
Грани	8 треугольников; 2 квадрата
Конфигурация вершины	3.3.3.4
Двойственный многогранник	Тетрагональный трапецоэдр[англ.]
	Вершинная фигура
	Развёртка
Классификация
Символ Шлефли	s{2,8}; sr{2,4}
Символ Витхоффа[англ.]	\| 2 2 4
Диаграмма Дынкина	;
Группа симметрии	D4, [4,2]+, (442), порядок=8
	Медиафайлы на Викискладе

Квадратная антипризма (антикуб^[1]) — второй многогранник в бесконечном ряду антипризм, образованных последовательностью треугольных граней, закрытых с обеих сторон многоугольниками. Если все грани являются правильными многоугольниками, антипризма является полуправильным многогранником или однородным многогранником.

Если восемь точек разместить на сфере с целью максимизации расстояний между ними в некотором смысле^[], получившаяся фигура соответствует скорее квадратной антипризме, чем кубу. Специфичные методы распределения точек включают, например, задачу Томпсона (минимизация суммы обратных величин расстояний между точками), максимизацию расстояний от точки до ближайшей или минимизацию суммы всех обратных квадратов расстояний между точками.

Для правильной квадратной антипризмы с длиной ребра $a$ объём вычисляется по формуле:

V={\frac {4{\sqrt {4\cos ^{2}{\frac {\pi }{8}}-1}}\sin {\frac {3\pi }{8}}}{12\sin ^{2}{\frac {\pi }{4}}}}\;a^{3}\approx 0{,}957a^{3}

,

а площадь поверхности:

S=2\left(\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{4}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 5,46a^{2}

(также площадь поверхности можно вычислить с учётом того, что развёртка состоит из двух квадратов и восьми равносторонних треугольников).

От каждой вершины квадратной антипризмы можно провести две диагонали, всего у этого многогранника 16 диагоналей. Для полуправильной квадратной антипризмы с ребром $a$ эти диагонали будут составлять $1{,}55a$ .

Молекулы с квадратной антипризматической геометрией

Квадратная антипризматическая молекулярная геометрия

Согласно теории ОЭПВО молекулярной геометрии в химии, которая основывается на принципе максимизации расстояний между точками, квадратная антипризма является наиболее предпочтительной геометрией, если восемь пар электронов окружают центральный атом. Одна из молекул с такой геометрией — ион октафтороксената (VI) (XeF₈²⁻) в соли октафтороксената(VI) нитрозила^[англ.]. Однако молекула эта далека от идеальной квадратной антипризмы^[2]. Очень мало ионов имеют кубическую форму, поскольку такая форма привела бы к сильному отталкиванию лигандов. PaF₈³⁻ является одним из немногих примеров^[3].

Кроме того, сера образует восьмиатомные молекулы S₈ как наиболее устойчивую аллотропную форму. Молекула S₈ имеет структуру, основанную на квадратной антипризме. В этой молекуле атомы занимают восемь вершин антипризмы, а восемь рёбер между рёбрами соответствуют ковалентной связи между атомами серы.

В архитектуре

Главное здание в комплексе Центра международной торговли (на месте старого Центра международной торговли, разрушенного 11 сентября 2001) имеет форму очень высокой сужающейся к верху квадратной антипризмы. Здание не является истинной антипризмой, поскольку она сужается к верху — верхний квадрат имеет вдвое меньшую площадь по сравнению с основанием.

Топологически эквивалентные многогранники

Скрученная призма (по часовой стрелке или против часовой стрелки) может иметь то же расположение вершин. Этот многогранник можно рассматривать как форму, собранную из 4 тетраэдров с вырезанными частями. Однако после вырезания тело нельзя разбить на тетраэдры без добавления новых вершин. Тело имеет половину симметрий однородного тела: D_n, [4,2]⁺^[4]^[5].

Связанные многогранники

Производные многогранники

Скрученно удлинённая четырёхугольная пирамида является правильногранным многогранником (J₁₀ = М₂+А₄), полученным удлинением квадратной пирамиды. Подобным же образом, скрученно удлинённая четырёхугольная бипирамида (J₁₇ = М₂+А₄+М₂) является дельтаэдром (многогранником, грани которого являются правильными треугольниками), построенным путём замены обоих квадратов квадратной антипризмы квадратными пирамидами.

Плосконосый двуклиноид (J₈₄ = М₂₅) является другим дельтаэдром, который получается заменой двух квадратов квадратной антипризмы парами равносторонних треугольников. Плосконосую квадратную антипризму (J₈₅ = М₂₈) можно рассматривать как квадратную антипризму, полученную путём вставки цепочки равносторонних треугольников. Клинокорона (J₈₆ = М₂₁) и большая клинокорона (J₈₈ = М₂₃) являются другими правильногранными многогранниками, которые, подобно другим квадратным антипризмам, состоят из двух квадратов и чётного числа равносторонних треугольников.

Квадратная антипризма может быть усечена и альтернирована для образования плосконосых антипризм:

Плосконосые антипризмы
Антипризма	Усечение t	Альтернирование^[англ.] ht
s{2,8}	ts{2,8}	ss{2,8}

Аналогичные многогранники

Будучи антипризмой, квадратная антипризма принадлежит семейству многогранников, в которые входят октаэдр (который можно рассматривать как треугольную антипризму), пятиугольная антипризма, шестиугольная антипризма и восьмиугольная антипризма^[англ.].

Семейство однородных антипризм n.3.3.3
Конфигурация	V2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	8.3.3.3	9.3.3.3	10.3.3.3	11.3.3.3	12.3.3.3	...∞.3.3.3
Многогранник
Мозаика

Квадратная антипризма является первой в ряду плосконосых многогранников и мозаик с вершинной фигурой 3.3.4.3.n.

4n2 симметрии плосконосых мозаик: 3.3.4.3.n
Симметрия 4n2	Сферическая		Евклидова	Компактная гиперболическая				Paracomp.
Симметрия 4n2	242	342	442	542	642	742	842	∞42
Плосконосые мозаики
Конфиг.	3.3.4.3.2	3.3.4.3.3	3.3.4.3.4	3.3.4.3.5	3.3.4.3.6	3.3.4.3.7	3.3.4.3.8	3.3.4.3.∞
Гиро- мозаики
Конфиг.	V3.3.4.3.2	V3.3.4.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.4.3.5	V3.3.4.3.6	V3.3.4.3.7	V3.3.4.3.8	V3.3.4.3.∞

См. также

Комбинация трёх квадратных антипризм^[англ.]

Примечания

↑ Holleman-Wiberg, 2001, p. 299.
↑ Peterson, Holloway, Coyle, Williams, 1971, p. 1238–1239.
↑ Norman & Earnshaw, 1997, p. 1275.
↑ Gorini, 2003, p. 172.
↑ Рисунки скрученных призм и антипризм (неопр.). Дата обращения: 31 января 2017. Архивировано 12 декабря 2016 года.

Литература

Inorganic Chemistry / A.F. Holleman, Nils Wiberg, Egon Wiberg. — Academic Press, 2001. — ISBN 0-12-352651-5.
W. Peterson, A. Holloway, H. Coyle, M. Williams. Antiprismatic Coordination about Xenon: the Structure of Nitrosonium Octafluoroxenate(VI) // Science. — 1971. — Т. 173, вып. 4003. — ISSN 0036-8075. — doi:10.1126/science.173.4003.1238. — Bibcode: 1971Sci...173.1238P. — PMID 17775218.
Catherine A. Gorini. The Facts on File Geometry Handbook. — New York: Facts On File, Inc, 2003. — ISBN 0-8160-4875-4.
Norman N. Greenwood, Alan Earnshaw. Chemistry of the Elements (2nd ed.). — Butterworth-Heinemann, 1997. — ISBN 0-08-037941-9.