Квазианалитическая функция

Квазианалити́ческие фу́нкции в математическом анализе — класс функций, которые, нестрого говоря, можно полностью реконструировать по их значениям на небольшом участке (например, на границе области). Такое свойство значительно облегчает решение дифференциальных уравнений и исследование других задач анализа. Поскольку это свойство выполняется для аналитических функций (см. Комплексный анализ), то класс квазианалитических функций содержит класс обычных аналитических функций и может рассматриваться как его расширение^[1].

Один из многих определяющих признаков аналитической функции: пусть функция ${\displaystyle f(x)}$ неограниченно дифференцируема во всех точках отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ и пусть существует число ${\displaystyle A}$ (зависящее от функции) такое, что для всех точек ${\displaystyle x\in [a,b]}$ выполняется неравенство:

${\displaystyle |f^{(n)}(x)|\leqslant A^{n}n!}$

(1)

Тогда функция ${\displaystyle f(x)}$ аналитическая (обратная теорема также верна)^[2].

Жак Адамар в 1912 году предложил обобщить приведенное неравенство, заменив последовательность ${\displaystyle n!}$ на последовательность общего вида ${\displaystyle M=\{M_{k}\}_{k=0}^{\infty }}$ положительных вещественных чисел. Он определил на интервале [a,b] класс функций C^M([a,b]) следующим образом:

Всякая функция ${\displaystyle f}$ из класса неограниченно дифференцируема (f ∈ C∞([a,b])), причём во всех точках x ∈ [a,b] и для всех ${\displaystyle k\geqslant 0}$ выполняется условие: ${\displaystyle \left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leqslant A^{k}k!M_{k}}$ (2) где A — некоторая константа (зависящая от функции).

Если взять последовательность M_k =1, то, согласно сказанному в начале раздела, мы получим в точности класс обычных вещественных аналитических функций на интервале [a,b].

Элементы квазианалитического класса называются квазианалитическими функциями. Приведенное условие означает, что две функции, совпадающие в некоторой точке вместе со всеми своими производными, совпадают всюду. Другими словами, значения функции на произвольно малом участке полностью определяют все её значения.

Для функции ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ и для набора индексов ${\displaystyle j=(j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$ обозначим:

${\displaystyle |j|=j_{1}+j_{2}+\ldots +j_{n}}$

${\displaystyle D^{j}={\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{1}^{j_{1}}\partial x_{2}^{j_{2}}\ldots \partial x_{n}^{j_{n}}}}}$

${\displaystyle j!=j_{1}!j_{2}!\ldots j_{n}!}$

${\displaystyle x^{j}=x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\ldots x_{n}^{j_{n}}.}$

Тогда ${\displaystyle f}$ называется квазианалитической в открытой области ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n},}$ если для каждого компактного ${\displaystyle K\subset U}$ существует константа ${\displaystyle A}$ такая, что:

${\displaystyle \left|D^{j}f(x)\right|\leqslant A^{|j|+1}j!M_{|j|}}$

для всех индексов из набора ${\displaystyle j\in \mathbb {N} ^{n}}$ и во всех точках ${\displaystyle x\in K}$.

Класс квазианалитических функций от ${\displaystyle n}$ переменных по отношению к последовательности ${\displaystyle M}$ на множестве ${\displaystyle U}$ можно обозначить ${\displaystyle C_{n}^{M}(U)}$, хотя в источниках встречаются и другие обозначения.

Предположим, что в приведенном выше определении ${\displaystyle M_{1}=1}$ и последовательность ${\displaystyle M_{k}}$ неубывающая. Эта последовательность называется логарифмически выпуклой, если выполняется условие:

Последовательность ${\displaystyle {M_{k+1} \over M_{k}}}$ возрастает.

Если последовательность ${\displaystyle M_{k}}$ логарифмически выпукла, то:

${\displaystyle (M_{k})^{1/k}}$ также возрастает.

${\displaystyle M_{r}M_{s}\leqslant M_{r+s}}$ для всех ${\displaystyle (r,s)\in \mathbb {N} ^{2}}$.

Для логарифмически выпуклой ${\displaystyle M}$ квазианалитический класс ${\displaystyle C_{n}^{M}}$ представляет собой кольцо. В частности, он замкнут относительно умножения и композиции. Последнее означает:

Если ${\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\ldots f_{p})\in (C_{n}^{M})^{p}}$ и ${\displaystyle g\in C_{p}^{M}}$, то ${\displaystyle g\circ f\in C_{n}^{M}}$.

Теорема Данжуа — Карлемана была сформулирована и частично решена Арно Данжуа (Denjoy (1921)) и полностью доказана в работе Торстена Карлемана (Carleman (1926)). Эта теорема предоставляет критерий для решения вопроса, при каких последовательностях M функции C^M([a,b]) образуют квазианалитический класс.

Согласно теореме, следующие утверждения равносильны:

• C^M([a,b]) — квазианалитический класс.
• ${\displaystyle \sum 1/L_{j}=\infty ,}$ где ${\displaystyle L_{j}=\inf _{k\geq j}(k\cdot M_{k}^{1/k})}$.
• ${\displaystyle \sum _{j}(jM_{j}^{*})^{-1/j}=\infty ,}$ где M_j^* — наибольшая логарифмически выпуклая последовательность, ограниченная сверху M_j.
• ${\displaystyle \sum _{j}{\frac {M_{j-1}^{*}}{(j+1)M_{j}^{*}}}=\infty .}$

Для доказательства того, что утверждения 3, 4 равносильны 2-му, используется неравенство Карлемана.

Пример: Denjoy (1921)^[3] указал, что если ${\displaystyle M_{n}}$ заданы одной из последовательностей

${\displaystyle 1,\,{(\ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n}\,{(\ln \ln \ln n)}^{n},\dots ,}$

то соответствующий класс квазианалитический. Первая последовательность (из единиц) дает обычные аналитические функции.

Для логарифмически выпуклой последовательности ${\displaystyle M}$ имеют место следующие свойства соответствующего класса функций.

• ${\displaystyle C^{M}}$ совпадает с классом аналитических функций тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \sup _{j\geq 1}(M_{j})^{1/j}<\infty }$.
• Если ${\displaystyle N}$ — другая логарифмически выпуклая последовательность, у которой ${\displaystyle M_{j}\leqslant C^{j}N_{j}}$ (здесь ${\displaystyle C}$ — некоторая константа), то ${\displaystyle C^{M}\subset C^{N}}$.
• ${\displaystyle C^{M}}$ устойчиво по отношению к дифференцированию тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty }$.
• Для любой неограниченно дифференцируемой функции ${\displaystyle f}$ можно найти квазианалитические кольца ${\displaystyle C^{M}}$ и ${\displaystyle C^{N}}$ и элементы ${\displaystyle g\in C^{M},h\in C^{N}}$ такие, что ${\displaystyle f=g+h}$.

Определение. Функция ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ называется регулярной порядка ${\displaystyle d}$ по отношению к ${\displaystyle x_{n}}$, если ${\displaystyle g(0,x_{n})=h(x_{n})x_{n}^{d}}$ и ${\displaystyle h(0)\neq 0}$.

Пусть ${\displaystyle g}$ — регулярная функция порядка ${\displaystyle d}$ по отношению к ${\displaystyle x_{n}}$. Говорят, что кольцо ${\displaystyle A_{n}}$ вещественных или комплексных функций от ${\displaystyle n}$ переменных удовлетворяет делению Вейерштрасса по отношению к ${\displaystyle g}$, если для каждой ${\displaystyle f\in A_{n}}$ существуют ${\displaystyle q\in A}$ и ${\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots ,h_{d-1}\in A_{n-1}}$ такие, что:

${\displaystyle f=gq+h}$, где ${\displaystyle h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}}$.

Пример: кольцо аналитических функций и кольцо формальных степенных рядов оба удовлетворяют свойству деления Вейерштрасса. Если, однако, ${\displaystyle M}$ логарифмически выпукло и ${\displaystyle C^{M}}$ не совпадает с классом аналитических функций, то ${\displaystyle C^{M}}$ не удовлетворяет свойству деления Вейерштрасса по отношению к ${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}+x_{2}^{2}}$.

Ключевой вопрос данной темы — способность аналитической функции однозначно восстанавливать свой «глобальный облик» по значениям самой функции и её производных в произвольной регулярной точке^[4]. Эмиль Борель первым обнаружил, что это свойство имеет место не только для аналитических функций.

В 1912 году Жак Адамар сформулировал вопрос: какой должна быть последовательность ${\displaystyle M_{n},}$ чтобы приведенное выше «условие однозначности» выполнялось для любой пары функций из соответствующего класса. Арно Данжуа в 1921 году привёл достаточные условия квазианалитичности и ряд примеров квазианалитичных классов (см. Denjoy (1921)). Полное решение проблемы дал пять лет спустя Торстен Карлеман (см. Carleman (1926)), установивший необходимые и достаточные условия квазианалитичности^[1].

В дальнейшем С. Н. Бернштейн и Ш. Мандельбройт обобщили понятие квазианалитичности на классы недифференцируемых и даже разрывных функций. Простейший пример — совокупность решений линейного дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентами; функции, входящие в это решение, вообще говоря, не обладают бесконечным числом производных^[5]..

• Горный А. Квази-аналитические функции // Успехи математических наук. — М., 1938. — № 5. — С. 171–186.
• Леонтьев А. Ф. Квазианалитический класс функций // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2. — С. 798—800.
• Мандельбройт С. Квазианалитические классы функций. — М.—Л.: ОНТИ НКТП, 1937.
• Мандельбройт С. Примыкающие ряды, регуляризация последовательностей. Применения, пер. с франц., М.: Иностранная литература, 1955.
• Carleman, T. (1926), Les fonctions quasi-analytiques, Gauthier-Villars  (фр.)
• Denjoy, A. (1921), "Sur les fonctions quasi-analytiques de variable réelle", C. R. Acad. Sci. Paris, 173: 1329—1331
• Hörmander, Lars (1990), The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-00662-1
• Leont'ev, A. F. Quasi-analytic class // Hazewinkel, Michiel. Encyclopedia of Mathematics. — Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 2001. — ISBN 978-1-55608-010-4.

• Cohen, Paul J. (1968), "A simple proof of the Denjoy-Carleman theorem", The American Mathematical Monthly, 75 (1), Mathematical Association of America: 26—31, doi:10.2307/2315100, ISSN 0002-9890, JSTOR 2315100, MR 0225957