Квазилинейная полезность

Квазилинейная функция полезности (англ. quasilinear utility function) линейна по одному из своих аргументов, обычно — по счётным деньгам (англ. numeraire). Квазилинейные предпочтения можно выразить функцией

${\displaystyle u(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}+\theta (x_{2},\ldots ,x_{n})}$,

где ${\displaystyle \theta }$ является строго вогнутой^[1]:164. Подобная функция обладает удобным свойством: маршалловский спрос на блага ${\displaystyle x_{2},\ldots ,x_{n}}$ не зависит от уровня благосостояния и, следовательно, не подвержен эффекту богатства^[1]:165-166. Отсутствие эффекта облегчает анализ^[1]:222, что делает квазилинейную полезность популярным средством моделирования. Более того, если полезность квазилинейна, то компенсирующая вариация дохода, эквивалентная вариация дохода и потребительский излишек равны^[1]:163. В дизайне механизмов квазилинейная полезность позволяет агентам совершать сторонние платежи.

Отношение предпочтения ${\displaystyle \succsim }$ квазилинейно по товару 1, если:

• все множества безразличия образуются параллельным смещением вдоль оси товара 1. Если потребитель индифферентен между наборами товаров x и y (x~y), то ${\displaystyle \left(x+\alpha e_{1}\right)\sim \left(y+\alpha e_{1}\right),\forall \alpha \in \mathbb {R} ,e_{1}=\left(1,0,...,0\right)}$^[2];
• товар 1 имеет положительную полезность: ${\displaystyle \left(x+\alpha e_{1}\right)\succ \left(x\right),\forall \alpha >0}$

Иначе говоря, отношение предпочтения квазилинейно, если существует один товар, двигает множества безразличия, сохраняя расстояния между точками безразличия и наклон в каждой точке. В двумерном случае квазилинейность означает, что кривые безразличия параллельны.

Если функция полезности квазилинейна по товару 1, то она принимает форму

${\displaystyle u\left(x\right)=x_{1}+\theta \left(x_{2},...,x_{L}\right)}$,

где ${\displaystyle \theta }$ есть функция^[3]. В двумерном случае это, например, ${\displaystyle u\left(x\right)=x_{1}+{\sqrt {x_{2}}}.}$.

Квазилинейная форма характерна для таких функций спроса, которые зависят только от цен и не зависят от уровня благосостояния. Скажем, если

${\displaystyle u(x,y)=x+\theta (y)}$

тогда спрос на y выводится из уравнения

${\displaystyle \theta '(y)=p_{y}}$,

так что

${\displaystyle y(p,I)=(\theta ')^{-1}(p_{y}),}$,

и это выражение не зависит от уровня благосостояния I.

Косвенная функция полезности тогда имеет вид^{[1]:154, 169}

${\displaystyle v(p,I)=v(p)+I,}$.

Кардиналистский и ординалистский подходы к определению квазилинейной полезности эквивалентны при выпуклости потребительского множества и непрерывных предпочтениях, которые локально ненасыщаемы по первому аргументу.

• Квазивыпуклая функция