Квазинормальная подгруппа

Квазинормальная подгруппа — это подгруппа особого типа, коммутирующая со всеми остальными подгруппами данной группы, относительно поэлементного произведения.

Квазигамильтонова группа — это группа, все подгруппы которой квазинормальны.

Примеры

Нормальная подгруппа является квазинормальной.
Дедекиндова группа является квазигамильтоновой.
Расширение циклической p-группы с помощью циклической p-группы, где p — простое число, является квазигамильтоновой группой

Свойства

Квазинормальная подгруппа обладает модулярным свойством в решётке подгрупп^[1]

В конечной Т-группе отношение квазинормальности на множестве всех её подгрупп транзитивно^[2]

Подгруппа конечной группы является квазинормальной, тогда и только тогда, когда она является элементом субнормального ряда подгрупп и обладает модулярным свойством в решётке подгрупп^[1]^[3]

Если A — циклическая квазинормальная подгруппа группы G, то [A, G] — абелева группа.^[4]

Если A — абелева квазинормальная подгруппа группы G, а n — натуральное число, нечетное или делящееся на 4, то $A^{n}$ — квазинормальная подгруппа группы G.^[4]

Конечная группа квазигамильтонова тогда и только тогда, когда она нильпотентна и ее силовские подгруппы имеют модулярные групповые структуры.^[5]

Примечания

↑ ¹ ² Adolfo Ballester-Bolinches; Ramon Esteban-Romero; Mohamed Asaad. Products of Finite Groups (неопр.). — Walter de Gruyter, 2010. — С. 24. — ISBN 978-3-11-022061-2.
↑ Adolfo Ballester-Bolinches; Ramon Esteban-Romero; Mohamed Asaad. Products of Finite Groups (неопр.). — Walter de Gruyter, 2010. — С. 52. — ISBN 978-3-11-022061-2.
↑ Schmidt, Roland (1994), Subgroup Lattices of Groups, Expositions in Math, vol. 14, Walter de Gruyter, p. 201, ISBN 978-3-11-011213-9
↑ ¹ ² Stonehewer, Stewart E. (2005), Old, Recent and New Results on Quasinormal subgroups (PDF), Архивировано (PDF) 29 октября 2017, Дата обращения: 26 января 2018 Источник (неопр.). Дата обращения: 26 января 2018. Архивировано 29 октября 2017 года.
↑ Юркина, В.Е, Квазинормальные подгруппы некоторых групп

Похожие исследовательские статьи

В этой статье приведены основные термины, используемые в теории групп. Курсив обозначает внутреннюю ссылку на данный глоссарий. В конце приводится таблица основных обозначений, применяемых в теории групп.

Простая группа — группа, не имеющая нормальных подгрупп, отличных от всей группы и единичной подгруппы.

Гру́ппа — множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём для этой операции имеется нейтральный элемент, и каждый элемент множества имеет обратный. Раздел общей алгебры, занимающийся группами, называется теорией групп.

Разрешимая группа — группа, ряд коммутантов которой заканчивается на тривиальной группе.

Теория групп — раздел общей алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. Группа является центральным понятием в общей алгебре, так как многие важные алгебраические структуры, такие как кольца, поля, векторные пространства, являются группами с расширенным набором операций и аксиом. Группы возникают во всех областях математики, и методы теории групп оказывают сильное влияние на многие разделы алгебры. В процессе развития теории групп построен мощный инструментарий, во многом определивший специфику общей алгебры в целом, сформирован собственный глоссарий, элементы которого активно заимствуются смежными разделами математики и приложениями. Наиболее развитые ветви теории групп — линейные алгебраические группы и группы Ли — стали самостоятельными областями математики.

Группа называется конечной $\text{[math]}$ -группой, если она имеет порядок, равный некоторой степени простого числа.

<span class="mw-page-title-main">Конечная группа</span> алгебраическая структура - группа, содержащая конечное число элементов

Конечная группа в общей алгебре — группа, содержащая конечное число элементов. Далее группа предполагается мультипликативной, то есть операция в ней обозначается как умножение; аддитивные группы с операцией сложения оговариваются особо. Единицу мультипликативной группы будем обозначать символом 1. Порядок группы $\text{[math]}$ принято обозначать $\text{[math]}$

Внутренний автоморфизм — это вид автоморфизма группы, определённый в терминах фиксированного элемента группы, называемого сопрягающим элементом. Формально, если G — группа, а a — элемент группы G, то внутренний автоморфизм, определённый элементом a — это отображение f из G в себя, определённое для всех x из G по формуле

f(x) = a⁻¹xa.

Теорема о классификации простых конечных групп — теорема теории групп, классифицирующая с точностью до изоморфизма простые конечные группы.

В математике свободная абелева группа — это абелева группа, имеющая базис, то есть такое подмножество элементов группы, что для любого её элемента существует единственное его представление в виде линейной комбинации базисных элементов с целыми коэффициентами, из которых только конечное число являются ненулевыми. Элементы свободной абелевой группы с базисом B называют также формальными суммами над B. Свободные абелевы группы и формальные суммы используются в алгебраической топологии при определении групп цепей и в алгебраической геометрии при определении дивизоров.

В теории групп дициклическая группа Dic_n— это некоммутативная группа порядка 4n, являющаяся расширением циклической группы порядка 2n. Эта группа также называется обобщённой группой кватернионов и обозначается Q_4n.

Группы Фишера — это три спорадические группы Fi₂₂, Fi₂₃ и Fi₂₄, введённые Берндом Фишером.

Т-группа — группа, в которой отношение нормальности на множестве всех её подгрупп транзитивно.

Теорема Фейта — Томпсона или теорема о нечётном порядке утверждает, что любая конечная группа нечётного порядка разрешима. Теорему доказали Вальтер Фейт и Джон Григгс Томпсон.

Теорема Шура — Зассенхауса — это теорема теории групп, которая утверждает, что если G является конечной группой, а N является нормальной подгруппой, порядок которой взаимно прост с порядком факторгруппы G/N, то G является полупрямым произведением подгруппы N и факторгруппы G/N.

Евге́ний Петро́вич Вдо́вин — российский учёный-математик, специалист по теории групп, доктор физико-математических наук, профессор РАН (2016).

Мультипликатор Шура является второй гомологией групп $\text{[math]}$ группы G. Его ввёл Исай Шур в работе по проективным представлениям.

Топологическая группа G называется дискретной группой, если в ней нет предельной точки. Эквивалентно, группа G дискретна тогда и только тогда, когда её нейтральный элемент является изолированной точкой. Другими словами, индуцированная топология в G является дискретным пространством. Например, целые числа $\text{[math]}$ образуют дискретную подгруппу вещественных чисел $\text{[math]}$ , а вот рациональные числа $\text{[math]}$ , не образуют. Дискретная группа является топологической группой G, снабжённой дискретной топологией.

Группа Фробениуса, или фробениусова группа — транзитивная группа перестановок на конечном множестве, такая, что каждый нетривиальный элемент фиксирует не более одной точки, и некоторый нетривиальный элемент фиксирует точку.

<span class="mw-page-title-main">Казарин, Лев Сергеевич</span>

Лев Серге́евич Каза́рин — советский и российский математик, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и математической логики Ярославского государственного университета.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.