Квантовая теория рассеяния

Квантовая теория рассеяния — раздел квантовой механики, описывающий рассеяние частиц на изолированном рассеивающем центре. В простейшем случае, этот центр характеризуется потенциалом. Обычно предполагается, что потенциал стремится к нулю по мере удаления от рассеивающего центра.

В учебнике Ландау и Лифшица по квантовой механике^[1] задача о рассеянии ставится следующим образом.

На силовой центр падает пучок частиц с волновым вектором ${\displaystyle {\vec {k}}_{0}}$ и плотностью ${\displaystyle N}$. Измеряется число частиц ${\displaystyle dN}$, которые попадают в детектор в единицу времени:

${\displaystyle dN=q(\theta ,\phi )Nd\Omega }$,

где ${\displaystyle \theta }$ и ${\displaystyle \phi }$ сферические углы детектора в системе координат, начало которой помещено в рассеивающий центр (ось ${\displaystyle z}$ направлена вдоль вектора ${\displaystyle {\vec {k}}_{0}}$, а ${\displaystyle d\Omega }$ — телесный угол, под которым детектор виден из начала координат. Для решения этой задачи рассмотрим стационарное уравнение Шрёдингера:

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\Delta +V(r)\right)\psi ({\vec {r}})=E\psi ({\vec {r}})}$.

Свободная частица, движущаяся в положительном направлении оси ${\displaystyle z}$, описывается плоской волной: ${\displaystyle \psi ({\vec {r}})=\exp(i{\vec {k}}_{0}\cdot {\vec {r}})}$. Рассеянные частицы описываются вдали от центра расходящейся сферической волной вида ${\displaystyle A(\theta ,\phi ){\frac {exp(ik_{0}r)}{r}}}$, следовательно, будем искать решение уравнения Шрёдингера со следующей асимптотикой на бесконечности:

${\displaystyle \psi ({\vec {r}})\approx \exp(i{\vec {k}}_{0}\cdot {\vec {r}})+A(\theta ,\phi ){\frac {\exp(ik_{0}r)}{r}}}$.

В результате решения этого уравнения мы получим амплитуду рассеяния ${\displaystyle A(\theta ,\phi )}$ и, следовательно, эффективное сечение рассеяния ${\displaystyle d\sigma =|A(\theta ,\phi )|^{2}d\Omega }$. При решении задач рассеяния в квантовой механике широко применяется метод фазовых функций.

Вышеприведенная постановка задачи существенно отличается от классической теории рассеяния, где начальное условие характеризуется прицельным параметром. В квантовой механике понятие траектории теряет смысл, поэтому говорить о прицельном параметре некорректно.

Возможна формулировка задачи о рассеянии, которая допускает единую интерпретацию как в классической, так и в квантовой механике ^[2]

Обратная задача квантовой теории рассеяния — определение вида рассеивающего потенциала по известным характеристикам рассеяния в квантовой механике. Имеет большое практическое значение в экспериментальной физике элементарных частиц для интерпретации экспериментальных данных по рассеянию и определения различных характеристик элементарных частиц, не измеряемых непосредственно на опыте^[3]

Обратная задача квантовой теории рассеяния решена исчерпывающим образом для случев сферически симметричного потенциала ${\displaystyle V({\vec {x}})=v(r)}$, удовлетворяющего условию ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }r\left|v(r)\right|dr<\infty }$, ^[4][5] а также для одномерного уравнения Шредингера^[3] и для систем уравнений с радиальными операторами^[6].

Сферически симметричный потенциал определяется по заданной для всех значений волнового вектора ${\displaystyle k}$ одной из фаз ${\displaystyle \eta _{l}(k)}$ S-матрицы ${\displaystyle S(k)=e^{-2i\eta (k)}}$. Если соответствующий радиальный оператор Шредингера ${\displaystyle H^{l}}$ имеет дискретный спектр, то потенциал определяется по фазе ${\displaystyle \eta _{l}(k)}$ неоднозначно^[4]

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.
• С. Сунакава Квантовая теория рассеяния. - М., Мир, 1979. - 265 c.
• Базь А. И., Зельдович Я. Б., Переломов А. М. Рассеяние, реакции и распады в нерелявиcтской квантовой механике. - М., Наука, 1966.
• Ву Т. Ю., Омура Т. Квантовая теория рассеяния. - М., Наука, 1969.
• Гольдбергер М., Ватсон К. Теория столкновений. - М., Мир, 1967.
• Мотт Н., Месси Г. Теория атомных столкновений. - М., Мир, 1969.
• Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. - М., Мир, 1969.
• Мигдал А. Б., Крайнов В. П. Приближенные методы квантовой механики. - М., Наука, 1966.
• Жигунов, В. П., Захарьев, Б. Н. Методы сильной связи каналов в квантовой теории рассеяния. - М., Атомиздат, 1974. - 223 с.
• Де Альфаро, В., Редже, Т. Потенциальное рассеяние. - М., Мир, 1966. - 274 с.
• Крейн Г. Г. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1972. — 544 с.
• Агранович М. С., Марченко В. А. Обратная задача квантовой теории рассеяния. — М.: Физматгиз, 1959. — 267 с.