Квантовая томография

Квантовая томография — часть квантовой информатики. Квантовая томография занимается восстановлением амплитуд квантового состояния по результатам его многократных измерений, и нахождением оптимальных схем таких измерений. Если ${\displaystyle \lambda _{0},\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{N-1}}$ — набор комплексных чисел, сумма квадратов модулей которых равна 1, то по ним однозначно можно построить квантовое состояние вида

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum \limits _{j=0}^{N-1}\lambda _{j}|j\rangle }$

Томография решает обратную задачу: по данному состоянию ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ восстановить всё ${\displaystyle \lambda _{j}}$. Для этого необходимо производить измерение состояния ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ в разных базисах, то есть для каждого нового измерения необходимо иметь новое, свежеприготовленное состояние ${\displaystyle |\Psi \rangle }$. Имея только один экземпляр состояния ${\displaystyle |\Psi \rangle }$, нельзя определить его амплитуды ${\displaystyle \lambda _{j}}$ со сколько-нибудь приемлемой точностью. Это следует из оценки на объём классической информации, которую можно извлечь из квантового состояния, а также из следующей теоремы.

Не существует унитарного оператора, способного перевести состояние ${\displaystyle |\Psi \rangle |{\bar {0}}\rangle }$ в состояние ${\displaystyle |\Psi \rangle |\Psi \rangle }$.

Если измерять многократно состояние ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ в стандартном базисе ${\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle ,\ldots }$, можно получить значения модулей амплитуд со сколь угодно высокой точностью, в силу правила Борна. Для получения фаз амплитуд необходимо измерять не в стандартном базисе, а в базисе, полученном, например, однокубитовыми преобразованиями (так называемые измерения в незапутанном базисе). Измерения в базисах, состоящих из запутанных состояний, способны дать больший эффект, но их трудно реализовать.

Томография (томо — сечение) представляет собой восстановление определённого состояния по его сечениям. В квантовой механике состояние представляет собой вектор ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ в гильбертовом пространстве многочастичных квантовых состояний, а сечение — его проекция на одну из координатных осей, называемая измерением. Процесс воссоздания амплитуд формулируется на алгебраическом языке; его можно уподобить обратному преобразованию Радона в обычной компьютерной томографии.