Кватернионный анализ — это раздел математики, изучающий регулярные кватернионнозначные функции кватернионного переменного. Из-за некоммутативности алгебры кватернионов существуют различные неравносильные подходы к определению регулярных кватернионных функций. В данной статье будет рассматриваться, в основном, подход Фютера[1].
Определение регулярной функции
Рассмотрим оператор

Функция кватернионного переменного
называется регулярной, если

Гармонические функции
Пусть
, тогда и
. Несложно проверить, что оператор
имеет вид

и совпадает с оператором Лапласа в
. Таким образом, все компоненты регулярной кватернионной функции являются гармоническими функциями в
. Обратно, можно показать, что для любой гармонической функции
существует регулярная кватернионная функция
такая, что
. Из свойств гармонических функций сразу следуют многие свойства регулярных кватернионных функций, в частности, принцип максимума.
Некоторые применения
Кватернионы активно применяются для расчёта трёхмерной графики в компьютерных играх
Дифференцирование отображений
Пусть
— функция, определённая на теле кватернионов. Мы можем определить понятие левой производной
в точке
как такое число, что

где
— бесконечно малая от
, то есть
.
Множество функций, которые имеют левую производную, ограничено. Например, такие функции, как


не имеют левой производной.
Рассмотрим приращение этих функций более внимательно.


Нетрудно убедиться, что выражения
и 
являются линейными функциями кватерниона
. Это наблюдение является основанием для следующего определения[2].
Непрерывное отображение

называется дифференцируемым на множестве
, если в каждой точке
изменение отображения
может быть представлено в виде

где

линейное отображение алгебры кватернионов
и
такое непрерывное отображение, что

Линейное отображение

называется производной отображения
.
Производная может быть представлена в виде[3]

Соответственно дифференциал отображения
имеет вид

Здесь предполагается суммирование по индексу
. Число слагаемых зависит от выбора функции
. Выражения

называются компонентами производной.
Производная удовлетворяет равенствам





Если
, то производная имеет вид


Если
, то производная имеет вид

и компоненты производной имеют вид


Если
, то производная имеет вид

и компоненты производной имеют вид

Примечания
- ↑ Fueter, R. Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen // Commentarii Mathematici Helvetici. — №1. — Birkhäuser Basel, 1936. — P. 371—378.
- ↑ Aleks Kleyn, eprint arXiv:1601.03259 Архивная копия от 25 января 2018 на Wayback Machine Introduction into Calculus over Banach algebra, 2016
- ↑ Выражение
не является дробью и должно восприниматься как единый символ. Данное обозначение предложено для совместимости с обозначением производной. Значение выражения
при заданном
является кватернионом.
Литература
- D. B. Sweetser, Doing Physics with Quaternions Архивная копия от 7 января 2009 на Wayback Machine (англ.)
- A. Sudbery, Quaternionic Analysis, Department of Mathematics, University of York, 1977.
- В. И. Арнольд, Геометрия сферических кривых и алгебра кватернионов, УМН, 1995, 50:1(301), 3-68
См. также