Кепстр

Кепстр — один из видов гомоморфной обработки сигналов^[1], функция обратного преобразования Фурье от логарифма спектра мощности сигнала^[2]. Кепстр можно записать следующим выражением:

${\displaystyle C_{s}(q)={1 \over 2\pi }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\ln |S(\omega )|^{2}e^{i\omega q}\,d\omega }$

где ${\displaystyle S(\omega )}$ — спектр входного сигнала.

Аргумент ${\displaystyle q}$ имеет размерность времени, но это особое, кепстральное время, поскольку ${\displaystyle C_{s}(q)}$ в любой момент ${\displaystyle q}$ зависит от функции ${\displaystyle s(t)}$ исходного сигнала со спектром ${\displaystyle S(\omega ),}$ заданной при ${\displaystyle -\infty <t<\infty }$.^[3] Иногда ${\displaystyle q}$ называют «сачтота» или «кьюфренси» (анаграммы от рус. частота или англ. frequency).

Кепстр в английском языке имеет два аналога — kepstrum и cepstrum.

Первые упоминания термина «кепстр» относятся к июню 1962 года, когда Богерт, Хили и Тьюки опубликовали статью с необычным названием «англ. The Quefrency Analysis of Time Series for Echoes: Cepstrum, Pseudo Autocovariance, Cross-Cepstrum and Saphe Cracking»^[4][2][5].

В этой статье они заметили, что логарифм спектра мощности колебания, содержащего отраженный сигнал, имеет аддитивную периодическую компоненту, созданную этим сигналом, и поэтому преобразование Фурье от логарифма спектра мощности имеет пик на месте, соответствующем задержке отраженного сигнала^[6]. Эту функцию они назвали «кепстром» (англ. cepstrum), изменяя слово «спектр» (spectrum) и объясняя это тем, что «в общем случае мы действуем в частотной области так, как принято действовать во временной, и наоборот»^[4]. При этом новое «кепстральное» время было ими названо термином «quefrency» (от англ. frequency), а фаза — «saphe» (от англ. phase)^[6].

Позже, в 1969 году Шафер ввёл понятие «комплексного кепстра» (англ. complex cepstrum), опирающегося на использовании информации как о амплитудном, так и о фазовом спектре наблюдаемого сигнала^[7]. Метод комплексного кепстра используется для восстановления исходных сигналов из результата их свёртки и был назван методом гомоморфной деконволюции или гомоморфной фильтрации^[8].

Первые упоминания термина «kepstrum» относятся к 1978 году, когда Сильвия и Робинсон в своей работе^[9] использовали его для обозначения предложенного ими метода анализа сейсмических сигналов. В этом методе используется тот факт, что для минимально фазовых сигналов kepstrum-спектральные коэффициенты могут быть получены непосредственно из оценки спектра мощности. В большинстве случаев вычисления «kepstrum» и «complex cepstrum» коэффициентов дают почти одинаковые результаты. Оба метода сходны в том, что используют обратное БПФ от логарифмического спектра мощности. А различие между ними состоит в том, что метод «kepstrum» характеризуется kepstrum-коэффициентами, полученными из степенных рядов Колмогорова, что обеспечивает получение теоретических значений («истинных» значений). В то время как метод «complex cepstrum» позволяет получить эмпирические значения kepstrum-коэффициентов (оценки величин), используя прямое БПФ^[5].

Другими словами, «kepstrum»-последовательности коэффициентов в разложении Колмогорова заменяются коэффициентами «complex cepstrum» обратного БПФ^[5].

Коэффициенты «complex cepstrum» являются усечённой версией коэффициентов «kepstrum» и зависят только от длины последовательности данных, а не от статистической вариации^[5].

Иногда^[5] термин «kepstrum» связывают с именем советского математика А. Н. Колмогорова, которым был предложен^[10] специальный функциональный ряд для обработки регулярных стационарных случайных процессов. При этом некоторые авторы считают, что первые буквы слова «kepstrum» могут быть расшифрованными как «Kolmogorov-equation power-series time response»^[11][12], в то же время аббревиатура KEPSTR ни в указанной работе^[10], ни в других работах А. Н. Колмогорова не встречается.

1. ↑ Оппенгейм, 1979, с. 339—361.
2. ↑ ^{1 2} Оппенгейм, 1979, с. 355.
3. ↑ Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов.— 4-е изд., перераб. и доп. — М.: Радио и связь, 1986. — 512 с. С.478
4. ↑ ^{1 2} B. P. Bogert, M. J. R. Healy, and J. W. Tukey: «The Quefrency Analysis of Time Series for Echoes: Cepstrum, Pseudo Autocovariance, Cross-Cepstrum and Saphe Cracking». Proceedings of the Symposium on Time Series Analysis (M. Rosenblatt, Ed) Chapter 15, 209—243. New York: Wiley, 1963.
5. ↑ ^{1 2 3 4 5} J. Jeong. Kepstrum Analysis and Real-Time Application to Noise Cancellation / Proceedings of the 8th WSEAS International Conference on SIGNAL PROCESSING, ROBOTICS and AUTOMATION. — С. 149—154. — ISBN 978-960-474-054-3., ISSN 1790-5117
6. ↑ ^{1 2} Оппенгейм А. В., Шафер Р. В. Цифровая обработка сигналов = Digital Signal Processing (рус.) / Пер. с англ./Под ред. С. Я. Шаца.. — М.: Связь, 1979. — 416 с. — ISBN 5-09-002630-0.
7. ↑ R. W. Schafer, Echo removal by discrete generalized linear filtering: Res. Lab. Electron. MIT, Tech. Rep., No. 466, 1969.
8. ↑ A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, Homomorphic analysis of speech, IEEE Trans. Audio Electroacoust. AU-16 (1968) 221—226.
9. ↑ M. T. Silvia, E. A. Robinson, Use of the kepstrum in signal analysis, Geoexploration 16. (1978) 55-73.
10. ↑ ^{1 2} А. Н. Колмогоров. Стационарные последовательности в гильбертовом пространстве. Бюллетень МГУ. Математика. 1941, т. 2, № 6, с. 3—40.
11. ↑ M. T. Silvia, E. A. Robinson. Deconvolution of Geophysical Time Series in the Exploration for Oil and Natural Gas / Elsevier Scientific Publishing Company, 1979.
12. ↑ J. Jeong, T. J. Moir. Kepstrum approach to real-time speech-enhancement methods using two microphones / Res. Lett. Inf. Math. Sci., 2005, Vol. 7, p. 135—145.

• Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: Изд-во «Большая Российская Энциклопедия», 1999.
• Kepstrum approach to real-time speech-enhancement methods using two microphones J.JEONG & T.J.MOIR // Institute of Information & Mathematical Sciences, Massey University at Albany, Auckland, New Zealand
• D. G. Childers, D. P. Skinner, R. C. Kemerait, "The Cepstrum: A Guide to Processing, " Proceedings of the IEEE, Vol. 65, No. 10, October 1977, pp. 1428—1443.