Классификация Бьянки

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Классификация Бьянки — классификация вещественных трёхмерных алгебр и групп Ли. Названа в честь Луиджи Бьянки, который доказал её в 1898 году.

Классификация содержит 11 классов; 9 из них содержат по одной алгебре, а два содержат континуальное семейство алгебр. (Иногда две группы включаются в бесконечные семейства, давая 9 вместо 11 классов.)

Термин классификация Бьянки также используется для аналогичных классификаций в других размерностях, а также для классификаций комплексных алгебр Ли.

Размерности 0, 1 и 2

  • Размерность 0: единственной алгеброй Ли является тривиальная нульмерная алгебра.
  • Размерность 1: единственной алгеброй Ли является абелева алгебра Ли . Её группа внешних автоморфизмов есть мультипликативная группа ненулевых вещественных чисел.
  • Размерность 2: есть две алгебры Ли:
    1. Абелева алгебра Ли с группой внешних автоморфизмов .
    2. Разрешаемая алгебра Ли верхнетреугольных 2×2-матриц с нулевым следом. Она имеет тривиальный центр и тривиальную группу внешних автоморфизмов. Ассоциированная односвязная группа Ли — группа аффинных преобразований прямой (иногда она называется -группой).

Размерность 3

Все трёхмерные алгебры Ли, кроме типов VIII и IX, могут быть построены как полупрямое произведение и , причем действует на некоторой 2×2-матрицей . Разные типы соответствуют разным типам матриц , как описано ниже.

  • Тип I. Это абелева и унимодулярная алгебра Ли . Её односвязная группа имеет центр и группу внешних автоморфизмов . Это тот случай, когда равно 0.
  • Тип II: алгебра Гейзенберга, которая является нильпотентной и унимодулярной. Односвязная группа имеет центр и группу внешних автоморфизмов . Это тот случай, когда нильпотентна, но не 0 (все собственные значения 0).
  • Тип III: эта алгебра является произведением и 2-мерной неабелевой алгебры Ли. (Это предельный случай типа VI, когда одно собственное значение обращается в ноль.) Она разрешима и не унимодулярна. У односвязной группы есть центр . Её группа внешних автоморфизмов — группа ненулевых вещественных чисел. Матрица имеет одно нулевое и одно ненулевое собственное значение.
  • Тип IV: алгебра, определяется равенствами [ y, z ] = 0, [ x, y ] = y, [ x, z ] = y + z. Она разрешима и не унимодулярна. Односвязная группа имеет тривиальный центр и группу внешних автоморфизмов, являющихся произведением вещественных чисел и группы порядка 2. Матрица имеет два равных ненулевых собственных значения, но не диагонализуема.
  • Тип V: [ y, z ] = 0, [ x, y ] = y, [ x, z ] = z . Разрешима и не унимодулярна. (Предельный случай типа VI, когда оба собственных значения равны.) Односвязная группа имеет тривиальный центр, а внешние автоморфизмы группируют элементы определителя +1 или −1. Матрица имеет два равных собственных значения и диагонализуема.
  • Тип VI: бесконечное семейство: полупрямые произведения на , где матрица имеет ненулевые различные вещественные собственные значения с ненулевой суммой. Алгебры разрешимы и не унимодулярны. Односвязная группа имеет тривиальный центр и группу внешних автоморфизмов, являющуюся произведением ненулевых вещественных чисел и группы порядка 2.
  • Типа VI0: Эта алгебра Ли является полупрямым произведением на , где матрица М имеет ненулевые различные вещественные собственные значения с нулевой суммой. Она разрешима и унимодулярна. Это алгебра Ли 2-мерной группы Пуанкаре — группы изометрий 2-мерного пространства Минковского. Односвязная группа имеет тривиальный центр и группу внешних автоморфизмов, произведение положительных вещественных чисел с группой диэдра порядка 8.
  • Тип VII: бесконечное семейство: полупрямые произведения на , где матрица имеет комплексные собственные значения, не вещественные и не мнимые. Разрешима и не унимодулярна. Односвязная группа имеет тривиальный центр, а внешние автоморфизмы группируют ненулевые вещественные числа.
  • Тип VII0: полупрямое произведение на , где матрица имеет ненулевые мнимые собственные значения. Разрешима и унимодулярна. Это алгебра Ли группы изометрий плоскости. Односвязная группа имеет центр и группу внешних автоморфизмов, являющуюся произведением ненулевых вещественных чисел и группы порядка 2.
  • Тип VIII: алгебра Ли -матриц с нулевым следом, ассоциированная с группой . Простая и унимодулярная. Односвязная группа не является матричной группой; она обозначается , имеет центр и группу внешних автоморфизмов порядка .
  • Тип IX: алгебра Ли ортогональной группы . Она обозначается и является простой и унимодулярной. Соответствующая односвязная группа — ; она имеет центр порядка и тривиальную группу внешних автоморфизмов, и является спинорной группой .

Классификация трёхмерных комплексных алгебр Ли аналогична, за исключением того, что типы VIII и IX становятся изоморфными, а типы VI и VII становятся частью единого семейства алгебр Ли.

Связные 3-мерные группы Ли можно классифицировать следующим образом: они являются фактором соответствующей односвязной группы Ли по дискретной подгруппе центра, поэтому их можно прочитать из данного списка.

Группы связаны с 8 типами геометрий в гипотезе геометризации Терстона. Точнее, семь из 8 геометрий могут быть реализованы как левоинвариантные метрики на односвязной группе (иногда более чем одним способом). Геометрия типа не может быть реализована таким образом.

Ссылки