Класс Понтрягина

Класс Понтрягина — характеристический класс, определенный для вещественных векторных расслоений. Понятие введено в 1947 году советским математиком Л. С. Понтрягиным.

Для векторного расслоения ${\displaystyle \xi }$ с базой ${\displaystyle B}$ классы Понтрягина обозначаются символом ${\displaystyle p_{i}(\xi )\in H^{4i}(B)}$ и полагаются равными

${\displaystyle p_{i}(\xi )=(-1)^{i}c_{2i}(\xi \otimes \mathbb {C} )}$,

где ${\displaystyle \xi \otimes \mathbb {C} }$ — комплексификация расслоения ${\displaystyle \xi }$, a ${\displaystyle c_{i}}$ — классы Черна.

Полным классом Понтрягина называется неоднородный характеристический класс

${\displaystyle p(\xi )=1+p_{1}(\xi )+p_{2}(\xi )+\dots }$.

Если ${\displaystyle B}$ — гладкое многообразие и расслоение ${\displaystyle \xi }$ явно не указывается, то предполагается что ${\displaystyle \xi }$ есть касательное расслоение ${\displaystyle B}$.

• Через классы Понтрягина выражаются L-класс Хирцебруха и ${\displaystyle {\hat {A}}}$-класс.
• Если ${\displaystyle \xi }$, ${\displaystyle \eta }$ — два вещественных векторных расслоения над общей базой, то класс когомологий
      ${\displaystyle p(\xi \oplus \eta )-p(\xi )p(\eta )}$ имеет порядок не больше двух.
  • В частности, если кольцо коэффициентов содержит 1/2, то выполняется равенство
        ${\displaystyle p(\xi \oplus \eta )=p(\xi )p(\eta )}$.
• Классы Понтрягина с рациональными коэффициентами двух гомеоморфных многообразий совпадают (теорема С. П. Новикова)
  • Известен пример, показывающий, что целочисленные классы Понтрягина не являются топологическими инвариантами.
• Для 2k-мерного расслоения ${\displaystyle \xi }$ справедливо равенство
      ${\displaystyle p_{k}(\xi )=e(\xi )^{2},}$
  где ${\displaystyle e(\xi )}$ обозначает класс Эйлера^[англ.].

• Понтрягин Л. С.  «Матем. сб.», 1947, т. 21, с. 233—84;
• Новиков С. П.  «Докл. АН СССР», 1965, т. 163, с. 298—300;
• Милнор Дж., Сташеф Дж. . Характеристические классы = Characteristic classes. — М.: Мир, 1979. — 371 с. — 6500 экз.