Кнезеровский граф
Кнезеровский граф — это неориентированный граф, описывающий отношение непересекаемости -элементных подмножеств -элементного множества друг с другом.
Формальное определение
Пусть . Тогда кнезеровский граф определяется как пара множеств вершин и рёбер
Частные случаи
- При кнезеровский граф является пустым графом (без рёбер).
- При кнезеровский граф представляет собой паросочетание. Конечно, рассматривается только случай
- При кнезеровский граф является полным графом.
- Граф является графом Петерсена.
- Основной интерес представляют кнезеровские графы со значениями параметра в промежутке .
Хроматическое число
Кнезеровский граф, кроме всего прочего, может использоваться для иллюстрации частного случая непрактичности тривиальных оценок хроматического числа графа через кликовое число и число независимости.
Общие тривиальные оценки
Числом независимости называется размер максимально независимого множества вершин в графе . Определение раскраски означает, что определяет максимальное количество вершин, которое можно покрасить в один цвет. Исходя из некоторой модификации принципа Дирихле, хроматическое число графа можно оценить как
Аналогично определяется кликовое число как размер максимальной клики. Это число даёт оценку
Как правило, первая оценка лучше второй — а именно, для случайного графа на вершинах вероятность того, что стремится к единице с растущим . Из того, что каждой клике графа можно сопоставить независимое множество графа , можно заключить, что то же самое верно для .
Однако кнезеровский граф даёт наглядную иллюстрацию целого класса графов, дискредитирующих изложенные выше оценки (в общем случае, а не для случайных графов).
Кликовое число
Не ограничивая общности предположим, что входит в клику как вершина. Тогда, из определения клики, ни одна другая вершина не должна содержать в своём подмножестве ни один элемент из . При дальнейшем аналогичном анализе это очевидным образом даёт
Число независимости
Из комбинаторных соображений очевидно, что . Для построения независимого множества такого размера достаточно зафиксировать одну вершину и перебрать все -элементные подмножества, содержащие её. По определению, между любой парой таких множеств не будет ребра.
Эрдёш, Ко и Радо в 1961 году опубликовали доказательство теоремы, утверждающей равенство в изложенной выше оценке. По словам математиков, они нашли доказательство ещё за несколько десятилетий до этого, но в то время его не имело смысла публиковать, потому что теорема была никому неинтересна. К слову, граф Кнезера в то время ещё не был известен, так что Эрдёш, Ко и Радо доказывали теорему в элементарной формулировке максимального количества попарно пересекающихся -элементных подмножеств -элементного множества.
Пользуясь тривиальной оценкой, из данного значения числа независимости можно получить только , то есть . Эта оценка почти не отличается от оценки через кликовое число.
Точное значение
Сформулированная в 1955 году Мартином Кнезером и доказанная в 1977 году Ласло Ловасом теорема утверждает, что
Построение оптимальной раскраски
Для любого покрасим в -й цвет каждое подмножество, минимальным элементом которого является число . Покрасим в цвет каждое подмножество, содержащиеся в множестве . Так как в указанном множестве элемент, то любые два его -элементных подмножества пересекаются, то есть между соответствующими вершинами нет ребра. Значит, построенная раскраска правильная.
См. также
- Раскраска графов
- Хроматическое число
- Клика (теория графов)
- Независимое множество (теория графов)
Источники
- Научно-популярный физико-математический журнал "Квант", 2011 год, "Гипотеза Кнезера и топологический метод в комбинаторике" (А. Райгородский)