Коалгебра
Коалгебра — математическая структура, которая двойственна (в смысле обращения стрелок) к ассоциативной алгебре с единицей. Аксиомы унитарной ассоциативной алгебры могут быть сформулированы в терминах коммутативных диаграмм. Аксиомы коалгебры получаются путём обращения стрелок. Каждая коалгебра c дуальностью (векторного пространства) порождает алгебру, но не наоборот. В конечномерном случае дуальность есть в обоих направлениях. Коалгебры встречаются в разных случаях (например, в универсальных обёртывающих алгебрах и групповых схемах[англ.]). Существует также F-коалгебра[англ.], имеющая важные приложения в информатике.
Определение
Коалгебра над полем K — это векторное пространство C над K вместе с K-линейными отображениями и , такими что
- .
(Здесь и означает тензорное произведение над K.)
Эквивалентно, следующие две диаграммы коммутируют:
На первой диаграмме мы отождествляем с как два естественно изоморфных пространства.[1] Аналогично, на второй диаграмме отождествлены естественно изоморфные пространства , и .[2]
Первая диаграмма двойственна диаграмме, выражающей ассоциативность операции умножения алгебры (и называется коассоциативностью коумножения); вторая диаграмма двойственна диаграмме, выражающей существование мультипликативного нейтрального элемента. Соответственно, отображение Δ называется коумножением (или копроизведением) в C, а ε является коединицей C.
Пример
Рассмотрим множество S и образуем векторное пространство над K с базисом S. Элементами этого векторного пространства являются такие функции из S в K которые отображают все элементы S, кроме конечного числа, в ноль; мы отождествим элемент s из S с функцией которая отображает s в 1 и все остальные элементы S в 0. Мы будем обозначать это пространство как C. Мы определим
Δ и ε могут быть единственным образом продолжены на всё C по линейности. Векторное пространство C становится коалгеброй с коумножением Δ и коединицей ε (проверка этого является хорошим способом, чтобы привыкнуть к использованию аксиом коалгебры).
Конечномерный случай
В конечномерном случае, двойственность между алгеброй и коалгеброй ближе: объект, двойственный к конечномерной (унитарной ассоциативной) алгебре есть коалгебра, а двойственный к конечномерной коалгебре есть (унитарная ассоциативная) алгебра. Вообще же говоря, объект, двойственный к алгебре, может не быть коалгеброй.
Это следует из того, что, для конечномерных пространств, (A ⊗ A)* и A* ⊗ A* изоморфны.
Ещё раз: алгебра и коалгебра — двойственные понятия (аксиомы, определяющие одну, получаются из аксиом другой обращением стрелок), тогда как для конечномерных пространств они являются ещё и двойственными объектами.
Примечания
См. также
Литература
- Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras, Pure and Applied Mathematics, vol. 235 (1st ed.), Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9
{{citation}}
: Неизвестный параметр|subtitle=
игнорируется (). - Yokonuma, Takeo (1992), Tensor spaces and exterior algebra, Translations of mathematical monographs, vol. 108, AMS Bookstore, ISBN 9780821845646.
- Bourbaki, Nicolas. Algebra (неопр.). — Springer-Verlag, 1989. — ISBN 0-387-19373-1.. Chapter III, section 11.
Ссылки
- William Chin: A brief introduction to coalgebra representation theory Архивная копия от 24 октября 2004 на Wayback Machine