Ковариант Фробениуса

Коварианты Фробениуса квадратной матрицы ${\displaystyle A}$ — специальные многочлены, а именно проекторы ${\displaystyle A_{i}}$, связанные с собственными значениями и векторами матрицы ${\displaystyle A}$^[1]. Коварианты названы именем немецкого математика Фердинанда Георга Фробениуса.

Каждый ковариант является проектором на собственное пространство, связанное с собственным значением ${\displaystyle \lambda _{i}}$. Коварианты Фробениуса являются коэффициентами формулы Сильвестра, которая выражает матричную функцию ${\displaystyle f(A)}$ как матричный многочлен.

Пусть A будет диагонализируемой матрицей с собственными значениями ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}}$.

Ковариант Фробениуса ${\displaystyle A_{i}}$ для ${\displaystyle i=1,\dots ,k}$ — это матрица

${\displaystyle A_{i}\equiv \prod _{j=1 \atop j\neq i}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}(A-\lambda _{j}E)~.}$

По существу, это многочлен Лагранжа с матрицей в качестве аргумента. Если собственное значение ${\displaystyle \lambda _{i}}$ простое, то, как матрица проецирования, не меняющая одномерного пространства, ${\displaystyle A_{i}}$ имеет единичный след.

Коварианты Фробениуса матрицы ${\displaystyle A}$ могут быть получены из любого спектрального разложения матрицы ${\displaystyle A=SDS^{-1}}$, где ${\displaystyle S}$ не вырождена, а ${\displaystyle D}$ – диагональная матрица с ${\displaystyle D_{ii}=\lambda _{i}}$. Если ${\displaystyle A}$ не имеет кратных собственных значений, то пусть ${\displaystyle c_{i}}$ будет ${\displaystyle i}$-м правым собственным вектором матрицы ${\displaystyle A}$, то есть ${\displaystyle i}$-м столбцом матрицы ${\displaystyle S}$. Пусть ${\displaystyle r_{i}}$ будет ${\displaystyle i}$-м левым собственным вектором ${\displaystyle A}$ (${\displaystyle i}$-й строкой матрицы ${\displaystyle S^{-1}}$). Тогда ${\displaystyle A_{i}=c_{i}r_{i}}$.

Если ${\displaystyle A}$ имеет кратное собственное значение ${\displaystyle \lambda _{i}}$, то ${\displaystyle A_{i}=\sum _{j}{c_{j}r_{j}}}$, где суммирование ведётся по всем строкам и столбцам, связанным с собственным значением ${\displaystyle \lambda _{i}}$^[2].

Рассмотрим матрицу ${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\4&2\end{bmatrix}}.}$

Матрица имеет два собственных значения: ${\displaystyle 5}$ и ${\displaystyle -2}$. Следовательно, ${\displaystyle (A-5)(A+2)=0}$.

Соответствующее собственное разложение есть

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&0\\0&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&0\\0&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/7&1/7\\4&-3\end{bmatrix}}.}$

Следовательно, коварианты Фробениуса, явственно являющиеся проекторами, есть

${\displaystyle {\begin{array}{rl}A_{1}&=c_{1}r_{1}={\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/7&1/7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3/7&3/7\\4/7&4/7\end{bmatrix}}=A_{1}^{2}\\A_{2}&=c_{2}r_{2}={\begin{bmatrix}1/7\\-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4&-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4/7&-3/7\\-4/7&3/7\end{bmatrix}}=A_{2}^{2}~,\end{array}}}$

при этом

${\displaystyle A_{1}A_{2}=0,\qquad A_{1}+A_{2}=E~.}$

Заметим, что ${\displaystyle \mathrm {tr} A_{1}=\mathrm {tr} A_{2}=1}$, что и требуется.