Колебание функции

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Колебание функции на множестве точная верхняя грань модуля разности значений функции на всевозможных парах точек , .

Колебание функции в точке — это предел колебания функции по базе окрестностей данной точки.

Определение

Величина называется колебанием функции на множестве .

Если теперь фиксировать , то можно определить колебание функции на множестве ; функция является невозрастающей функцией при и ограниченной снизу, поэтому она

  • либо имеет конечный предел при ,
  • либо для любого будет .

Это определение можно использовать для формулировки Критерия Коши существования предела функции и критерия непрерывности функции в точке[1].

Связанное определение

Величина называется колебанием функции в точке .

Свойства

  • Функция непрерывна в точке , предельной для множества тогда и только тогда, когда её колебание в данной точке равно нулю:
.
  • Функция непрерывна на множестве тогда и только тогда, когда для любого существует элемент базы , колебание на котором будет меньше чем заданное :
.

См. также

Примечания

  1. Зорич В. В. Математический анализ, часть 1. — МЦНМО, 2002. — С. 153, 179. — ISBN 5940570569. Архивировано 13 февраля 2023 года.

Ссылки