Кольцо частных

Кольцом частных S⁻¹R коммутативного кольца R (с единицей) по мультипликативной системе ${\displaystyle S\subset R}$ называется пространство дробей с числителями из R и знаменателями из S с арифметическими операциями и отождествлениями, обычными для дробей.

Используется также термин локализация кольца R по множеству S. Этот термин происходит из алгебраической геометрии: если R — это кольцо функций на алгебраическом многообразии V, то для того, чтобы изучить локальные свойства этого многообразия в точке p, обычно рассматривают множество функций, которые не равны нулю в этой точке и локализуют R по этому множеству.

Обычное обозначение для локализации (или кольца частных) — S⁻¹R, однако в отдельных случаях чаще употребляют другие обозначения. Так, если S — дополнение простого идеала I, локализация R обозначается как R_I (и называется локализацией кольца по простому идеалу), а если S — множество всех степеней элемента f, используется обозначение R_f. Последние два случая являются фундаментальными для теории схем.

Мультипликативной системой в кольце R называется подмножество S в R, содержащее 1, не содержащее нуля и замкнутое по умножению (в кольце R). Для мультипликативной системы S множество ${\displaystyle I_{S}=\{a\in R:\,\exists s\in S,\,as=0\}}$ образует идеал в кольце R. В случае, когда множество S не содержит делителей нуля кольца R, идеал ${\displaystyle I_{S}}$ состоит только из нуля и система S называется регулярной. Если R — целостное кольцо, в нём всякая мультипликативная система регулярна.

Элементами кольца частных кольца R по мультипликативной системе S являются формальные дроби вида r/s, где r — произвольный элемент R, а s — элемент множества S. Две дроби ${\displaystyle r_{1}/s_{1}}$ и ${\displaystyle r_{2}/s_{2}}$ считаются эквивалентными (представляют один и тот же элемент кольца частных), если ${\displaystyle r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1}\in I_{S}}$. Операции сложения и умножения определяются как обычно:

${\displaystyle r_{1}/s_{1}+r_{2}/s_{2}=(r_{1}s_{2}+r_{2}s_{1})/s_{1}s_{2}}$

${\displaystyle r_{1}/s_{1}*r_{2}/s_{2}=r_{1}r_{2}/s_{1}s_{2}}$

Проверяется, что, если в сумме или произведении дроби заменить на эквивалентные, новый результат будет выражаться дробью, эквивалентной прежней. С такими операциями множество ${\displaystyle S^{-1}R}$ приобретает структуру коммутативного кольца с единицей. Нулём в нём служит дробь 0/1, единицей — дробь 1/1.

Если R — область целостности, множество всех его ненулевых элементов образует мультипликативную систему. Кольцо частных по этой системе является полем и называется полем частных или полем отношений, оно обычно обозначается Frac(R) или Quot(R). Все элементы поля частных имеют вид a/b, где a, b — элементы R и b ≠ 0, с обычными арифметическими правилами сокращения числителя и знаменателя, сложения и умножения. Легко видеть, что поле частных — наименьшее поле, в которое можно вложить R. Например, поле частных поля изоморфно самому полю.

Существует естественное вложение кольца в своё поле частных, отправляющее a в a/1. Поле частных кольца R удовлетворяет следующему универсальному свойству: если h : R → F — инъективный гомоморфизм колец из R в поле F, то существует единственный гомоморфизм колец g : Quot(R) → F, который совпадает с h на элементах R. Это универсальное свойство можно выразить такими словами: поле частных — это стандартный способ сделать элементы кольца обратимыми, соответственно, кольцо частных — это стандартный способ сделать некоторое подмножество элементов кольца обратимыми.

В терминах теории категорий конструкцию поля частных можно описать следующим образом. Рассмотрим категорию, объекты которой — целостные кольца, а морфизмы — инъективные гомоморфизмы колец. Существует забывающий функтор из категории полей в эту категорию (так как все гомоморфизмы полей инъективны). Оказывается, что у этого функтора существует левый сопряжённый, он и сопоставляет целостному кольцу его поле частных.

• Кольцо частных имеет каноническую структуру алгебры над кольцом R, так как вместе с кольцом S⁻¹R сразу определён и канонический гомоморфизм кольца R в S⁻¹R (каждому элементу r из R соответствует дробь r/1). Ядром этого гомоморфизма является идеал ${\displaystyle I_{S}}$. В случае, если система S регулярна (не содержит делителей нуля), этот гомоморфизм инъективен, и кольцо R, таким образом, вложено в своё кольцо частных по системе S. При этом дробь r/s является единственным решением уравнения sx = r.
• Если оба элемента r и s принадлежат S, тогда в кольце S⁻¹R содержатся дроби r/s и s/r. Их произведение равно 1, следовательно, они обратимы. Обратно: каждый обратимый элемент кольца S⁻¹R имеет вид er/s, где r и s принадлежат S, а e — обратимый элемент кольца R.
• Если R — евклидово кольцо, то всякое кольцо, промежуточное между R и его полем частных, является кольцом частных кольца R по некоторой мультипликативной системе S.
• Если система S состоит из одних только обратимых элементов кольца R, канонический гомоморфизм кольца R в S⁻¹R превращается в изоморфизм, так как каждая дробь r/s оказывается сократимой в кольце R.
• Существует биекция между множеством простых идеалов S⁻¹R и множеством простых идеалов R, не пересекающихся со множеством S (индуцируемая гомоморфизмом R → S ⁻¹R). Важный частный случай этого свойства: локализация кольца по простому идеалу p даёт локальное кольцо, единственный максимальный идеал которого порождён образами элементов p.

• Полем частных кольца целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ является поле рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.
• Степени числа 10 в ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ образуют мультипликативную систему. Кольцом частных по ней будет кольцо конечных десятичных дробей.
• Полем частных кольца многочленов ${\displaystyle k[X_{1},X_{2},...,X_{n}]}$ над полем k будет поле рациональных функций ${\displaystyle k(X_{1},X_{2},...,X_{n})}$.
• Чётные числа в ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ образуют простой идеал. Локализацией кольца ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ по нему будет кольцо рациональных дробей, у которых в несократимом виде знаменатель — нечётное число.
• Рассмотрим кольцо многочленов k[x] и f = x. Тогда R_f — кольцо многочленов Лорана^[англ.] k[x, x⁻¹].

Примерно такую же конструкцию можно применить и к модулям и для произвольного A-модуля M рассмотреть модуль частных S⁻¹M. А именно, пусть ${\displaystyle I_{S}}$ — множество элементов модуля, аннулируемых умножением на какой-либо элемент мультипликативной системы S, легко проверить, что это множество замкнуто относительно сложения и умножения на элемент кольца. Модуль частных S⁻¹M — это множество формальных дробей вида m/s с отношением эквивалентности ${\displaystyle r_{1}/s_{1}\equiv r_{2}/s_{2}}$, если ${\displaystyle r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1}\in I_{S}}$, с обычной операцией сложения дробей, а также с операцией умножения на элементы кольца S⁻¹A вида m/s * a/s' = am/ss'.

Пусть ${\displaystyle u:M\to N}$ — гомоморфизм A-модулей, он индуцирует гомоморфизм S⁻¹A-модулей ${\displaystyle S^{-1}u:S^{-1}M\to S^{-1}N}$, отображающий m/s в u(m)/s. Очевидно, что ${\displaystyle S^{-1}(u\circ v):S^{-1}u\circ S^{-1}v}$, то есть операция S⁻¹ является функтором. Более того, этот функтор является точным.^[1] Из этого следует, что если ${\displaystyle M'}$ является подмодулем ${\displaystyle M}$, то и ${\displaystyle S^{-1}M'}$ является подмодулем ${\displaystyle S^{-1}M}$. Если же мы рассмотрим два подмодуля данного модуля, то применение к ним S⁻¹ перестановочно со взятием суммы модулей, пересечения модулей и взятием фактормодуля.

Существует представление модуля частных при помощи тензорного произведения: ${\displaystyle S^{-1}M\cong S^{-1}A\otimes _{A}M.}$ Из этого представления и из точности функтора локализации следует, что модуль ${\displaystyle S^{-1}M}$ является плоским.

Свойство P кольца A (или A-модуля M) называется локальным если следующие утверждения эквивалентны:

• A (соотв. M) обладает свойством P,
• A_I (соотв. M_I) обладает свойством P для всех простых идеалов I кольца A.

Можно привести следующие примеры локальных свойств: свойство модуля быть равным нулю, свойство гомоморфизма быть инъективным или сюръективным (нужно рассматривать гомоморфизмы, индуцированные локализацией), свойство модуля быть плоским.

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Факториал Пресс, 2003. — ISBN 5-88688-067-4.
• Зарисский О., Самуэль П. Коммутативная алгебра. — Т.1. — М.: ИЛ, 1963.