Коммутантно-ассоциативная алгебра

Коммутантно-ассоциативная алгебра — неассоциативная алгебра M над полем F, в которой бинарная мультипликативная операция подчиняется следующим аксиомам:

1. Тождеству коммутантной ассоциативности:

([A_{1},A_{2}],[A_{3},A_{4}],[A_{5},A_{6}])=0

для всех $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},A_{6}\in M$ . где $[A,B]=g(A,B)-g(B,A)$ — коммутатор элементов A и B, а $(A,B,C)=g(g(AB),C)-g(A,g(B,C))$ — ассоциатор элементов A, B и C.

2. Условию билинейности:

g(aA+bB,C)=ag(A,C)+bg(B,C)

для всех $A,B,C\in M$ и $a,b\in F$ .

Другими словами, алгебра M является коммутантно-ассоциативной, если коммутант, то есть подалгебра алгебры M образованная всеми коммутаторами $[A,B]$ , является ассоциативной алгеброй.

Существует следующая взаимосвязь между коммутантно-ассоциативной алгеброй и алгеброй Валя. Замена умножения g(A,B) в алгебре M операцией коммутирования $[A,B]=g(A,B)-g(B,A)$ , превращает её в алгебру $M^{(-)}$ . При этом, если M является коммутантно-ассоциативной алгеброй, то $M^{(-)}$ будет алгеброй Валя.

См. также

Литература

A. Elduque, H. C. Myung Mutations of alternative algebras, Kluwer Academic Publishers, Boston, 1994, ISBN 0-7923-2735-7
V.T. Filippov (2001), «Mal’tsev algebra», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
M.V. Karasev, V.P. Maslov, Nonlinear Poisson Brackets: Geometry and Quantization. American Mathematical Society, Providence, 1993.
A.G. Kurosh, Lectures on general algebra. Translated from the Russian edition (Moscow, 1960) by K. A. Hirsch. Chelsea, New York, 1963. 335 pp. ISBN 0-8284-0168-3 ISBN 978-0-8284-0168-5
A.G. Kurosh, General algebra. Lectures for the academic year 1969/70. Nauka, Moscow,1974. (In Russian)
A.I. Mal’tsev, Algebraic systems. Springer, 1973. (Translated from Russian)
A.I. Mal’tsev, Analytic loops. Mat. Sb., 36 : 3 (1955) pp. 569–576 (In Russian)
Schafer, R.D. An Introduction to Nonassociative Algebras (англ.). — New York: Dover Publications, 1995. — ISBN 0-486-68813-5.
V.E. Tarasov, «Quantum dissipative systems: IV. Analogues of Lie algebras and groups» // Theoretical and Mathematical Physics. Vol.110. No.2. (1997) pp. 168–178.]
V.E. Tarasov Quantum Mechanics of Non-Hamiltonian and Dissipative Systems. Elsevier Science, Amsterdam, Boston, London, New York, 2008. ISBN 0-444-53091-6 ISBN 978-0-444-53091-2
Zhevlakov, K.A. (2001), «Alternative rings and algebras», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Похожие исследовательские статьи

А́лгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики; в этом разделе числа и другие математические объекты обозначаются буквами и другими символами, что позволяет записывать и исследовать их свойства в самом общем виде. Слово «алгебра» также употребляется в общей алгебре в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под «алгеброй» понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множеств произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.

При́знак д’Аламбе́ра — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Моноид — полугруппа с нейтральным элементом. Более подробно, моноидом называется множество $\text{[math]}$ , на котором задана бинарная ассоциативная операция, обычно именуемая умножением, и в котором существует такой элемент $\text{[math]}$ , что $\text{[math]}$ для любого $\text{[math]}$ . Элемент $\text{[math]}$ называется единицей и часто обозначается $\text{[math]}$ . В любом моноиде имеется ровно одна единица.

Аналитическая функция вещественной переменной — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

Модуль без кручения — модуль $\text{[math]}$ над кольцом $\text{[math]}$ , такой что из равенства $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — элемент $\text{[math]}$ , не являющийся делителем нуля, и $\text{[math]}$ , следует $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ .

Альтернативная алгебра — алгебра над полем, умножение в которой является альтернативным. Каждая ассоциативная алгебра, очевидно, альтернативна, однако существуют и неассоциативные альтернативные алгебры, примером которых являются октавы. Обобщение октав, седенионы, уже не обладают свойством альтернативности.

Алгебра Валя — неассоциативная алгебра M над полем F, в которой бинарная мультипликативная операция подчиняется следующим аксиомам:

Алгебра Хопфа — ассоциативная алгебра над полем, имеющая единицу и являющаяся также коассоциативной коалгеброй с коединицей c антигомоморфизмом специального вида. Названа в честь Хайнца Хопфа.

Универсальная алгебра — раздел математики, изучающий общие свойства алгебраических систем, использующий сходства между различными алгебраическими структурами — группами, кольцами, модулями, решётками, вводящий присущие им всем понятия и устанавливающий общие для всех них утверждения. Занимает промежуточное положение между математической логикой и общей алгеброй, как реализующий аппарат математической логики в применении к общеалгебраическим структурам.

В алгебре косвободная коалгебра векторного пространства или модуля это аналог свободной алгебры векторного пространства. Косвободная коалгебра произвольного векторного пространства над фиксированным полем существует, хотя это более сложная конструкция, чем можно ожидать по аналогии со свободной алгеброй.

Алгебра Мальцева — неассоциативная алгебра $\text{[math]}$ над полем $\text{[math]}$ , в которой бинарная мультипликативная операция подчиняется следующим аксиомам:

условию антисимметричности:

\text{[math]}

Область главных идеалов — это область целостности, в которой любой идеал является главным. Более общее понятие — кольцо главных идеалов, от которого не требуется целостности.

В общей алгебре, термин кручение относится к элементам группы, имеющим конечный порядок, или к элементам модуля, аннулируемым регулярным элементом кольца.

В математике централизатор подмножества S группы G — это множество элементов G, которые коммутируют с каждым элементом S, а нормализатор S — это множество элементов G, которые коммутируют с S «в целом». Централизатор и нормализатор S являются подгруппами G и могут пролить свет на структуру G.

В математике термин матрица Картана имеет три значения. Все они названы по имени французского математика Эли Картана. Фактически, матрицы Картана в контексте алгебр Ли впервые исследовал Вильгельм Киллинг, в то время как форма Киллинга принадлежит Картану.

<span class="mw-page-title-main">Подгруппа Бореля</span>

Подгруппа Бореля алгебраической группы G — это максимальная замкнутая и связная разрешимая алгебраическая подгруппа. Например, в группе GL_n, подгруппа обратимых верхнетреугольных матриц является подгуппой Бореля.

$\text{[math]}$ -алгебра — банахова алгебра с инволюцией, удовлетворяющей свойствам сопряжённого оператора.

Некоммутативная геометрия (НКГ) — раздел математики, посвященный геометрическому подходу к некоммутативным алгебрам и построению «пространств», которые локально представлены некоммутативными алгебрами функций.

ККС-алгебры и КАС-алгебры используются в математическом аппарате квантовой механики, квантовой статистической механики и квантовой теории поля при описании статистики и наблюдаемых свойств всех элементарных частиц: бозонов и фермионов, соответственно..

Алгебра Витта — алгебра Ли мероморфных векторных полей на сфере Римана, голоморфных всюду, кроме двух выделенных точек. Её также можно рассматривать как комплексификацию алгебры Ли полиномиальных векторных полей на окружности или как алгебру Ли дифференцирований кольца $\text{[math]}$ .

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.