Компактификация Бора

Компактификация Бора топологической группы G — это бикомпактная топологическая группа H, которая может быть канонически ассоциирована с группой G. Её важность состоит в сведении теории равномерно почти периодических функций на G к теории непрерывных отображений на H. Концепция названа именем датского математика Харальда Бора, который первым начал изучение почти периодических функций на вещественной прямой.

Если задана топологическая группа G, компактификация Бора группы G — это бикомпактная топологическая группа ${\displaystyle \mathbf {Bohr} (G)}$ и непрерывный гомоморфизм^[1]

${\displaystyle \mathbf {b} \colon G\to \mathbf {Bohr} (G),}$

который является универсальным по отношению к гомоморфизмам в бикомпактные группы. Это означает, что если K является другой бикомпактной топологической группой и

${\displaystyle f\colon G\to K}$

является непрерывным гомоморфизмом, то имеется единственный непрерывный гомоморфизм

${\displaystyle \mathbf {Bohr} (f)\colon \to K,}$

такой что ${\displaystyle f=\mathbf {Bohr} (f)\circ b}$f = Bohr(f) ∘ b.

Теорема. Компактификация Бора существует^[2][3] и единственна с точностью до изоморфизма.

Обозначим компактификацию Бора группы G через ${\displaystyle \mathbf {Bohr} (G),}$ а каноническое отображение через

${\displaystyle \mathbf {b} :G\rightarrow \mathbf {Bohr} (G).}$

Соответствие ${\displaystyle G\mapsto \mathbf {Bohr} (G)}$ определяет ковариантный функтор на категории топологических групп и непрерывных гомоморфизмов.

Компактификация Бора тесно связана с теорией конечномерных унитарных представлений^[англ.] топологических групп. Ядро группы b состоит в точности из тех элементов группы G, которые не могут быть отделены от тождественного элемента группы G конечномерным унитарным представлением.

Компактификация Бора сводит также многие проблемы теории почти периодических функций на топологических группах к проблемам функций на компактных группах.

Ограниченная непрерывная комплекснозначная функция f на топологической группе G является однородно почти периодической тогда и только тогда, когда множество правых переносов ${\displaystyle _{g}f}$, где

${\displaystyle [{}_{g}f](x)=f(g^{-1}\cdot x),}$

относительно компактно в равномерной топологии при изменении g в G.

Теорема. Ограниченная непрерывная комплекснозначная функция f на G равномерно почти периодична, если существует непрерывная функция ${\displaystyle f_{1}}$ на ${\displaystyle \mathbf {Bohr} (G)}$ (единственно определённая), такая что

${\displaystyle f=f_{1}\circ \mathbf {b} .}$^[4]

Топологические группы, для которых отображение компактификации Бора инъективно, называются максимально почти периодическими (МПП группами). В случае, если G локально компактная связная группа, МПП группы полностью определены — это в точности произведение компактных групп на векторные группы конечной размерности.

• Компактное пространство
• Компактификация
• Множество с отмеченной точкой
• Компактификация Стоуна — Чеха
• Уоллменовская компактификация^[англ.]

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Bohr compactification", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4