Компактно-открытая топология

Компактно-открытая топология — естественная топология на пространстве $C(X,Y)$ — пространстве непрерывных отображений между двумя топологическими пространствами $X\to Y$ , предбазу которой образуют множества отображений вида

W_{K,U}=\{f\in C(X,Y)|f(K)\subset U\},

где $U\subset Y$ — открытое множество, а $K\subset X$ — компактное множество.

Свойства

Если $X$ $X$ компактно, а $Y$ $Y$ метрическое пространство, то сходимость последовательности функций $f_{n}$ $f_{n}$ в $C(X,Y)$ $C(X,Y)$ означает равномерную сходимость.
- Более общо: если $Y$ метрическое пространство, то сходимость последовательности функций $f_{n}$ в $C(X,Y)$ означает равномерную сходимость сужений $f_{n}|K$ для любого компактного множества $K\subset X$ .

Литература

О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев Задачный учебник по топологии

Похожие исследовательские статьи

Топологи́ческое простра́нство — множество, для элементов которого определено, какие из них близки друг к другу. Является центральным понятием общей топологии.

Непреры́вное отображе́ние — отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.

В этом глоссарии приведены определения основных терминов, используемых в общей топологии. Курсивом выделены ссылки внутри глоссария.

Метри́ческое простра́нство — множество вместе со способом измерения расстояния между его элементами. Является центральным понятием геометрии и топологии.

<span class="mw-page-title-main">Гомеоморфизм</span>

Гомеоморфи́зм — непрерывная биекция с непрерывной обратной. Является центральным понятием топологии.

Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств, обобщающий свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах на произвольные топологические пространства.

Пространство основных функций — структура, с помощью которой строится пространство обобщённых функций.

Голоморфная функция, иногда называемая регулярной функцией — функция комплексного переменного, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости $\text{[math]}$ и комплексно дифференцируемая в каждой точке.

Слабая сходимость в функциональном анализе — вид сходимости в топологических векторных пространствах.

В математике, поточечная сходимость последовательности функций на множестве — это вид сходимости, при котором каждой точке данного множества ставится в соответствие предел последовательности значений элементов последовательности в этой же точке.

Пусть $\text{[math]}$ — произвольное множество, $\text{[math]}$ — метрическое пространство, $\text{[math]}$ — последовательность функций. Говорят, что последовательность $\text{[math]}$ равномерно сходится к функции $\text{[math]}$ , если для любого $\text{[math]}$ существует такой номер $\text{[math]}$ , что для всех номеров $\text{[math]}$ и всех точек $\text{[math]}$ выполняется неравенство

\text{[math]}

Равностепенная непрерывность — свойство семейства непрерывных функций, заключающееся в том, что всё семейство функций изменяется некоторым контролируемым образом. Применяется, чтобы выбрать равномерно сходящуюся последовательность из некоторого семейства функций: теорема Арцела — Асколи позволяет это сделать для равностепенно непрерывного и равномерно ограниченного семейства на, например, компактном метрическом пространстве.

Теорема Арцела́ — утверждение, которое представляет собой критерий предкомпактности множества в полном метрическом пространстве в том специальном случае, когда рассматриваемое пространство — пространство непрерывных функций на отрезке вещественной прямой. Названа в честь автора, Чезаре Арцела.

Произведение топологических пространств — это топологическое пространство, полученное, как множество, декартовым произведением исходных топологических пространств, и снабжённое естественной топологией, называемой топологией произведения или тихоновской топологией. Слово «естественная» здесь употребляется в смысле теории категорий и означает, что эта топология удовлетворяет некоторому универсальному свойству.

Теорема Сарда — теорема математического анализа с приложениями в дифференциальной геометрии и топологии, теории катастроф и теории динамических систем.

Ба́наховой алгеброй над комплексным или действительным полем называется ассоциативная алгебра, являющаяся при этом банаховым пространством. При этом умножение в ней должно быть согласовано с нормой:

\text{[math]}

В функциональном анализе и связанных областях математики пространством Браунера называется полное локально выпуклое k-пространство $\text{[math]}$ обладающее последовательностью компактных множеств $\text{[math]}$ таких что любое компактное множество $\text{[math]}$ содержится в некотором $\text{[math]}$ .

k-пространство — топологическое пространство, в котором замкнуты все множества, пересечение которых с каждым компактным подмножеством этого пространства замкнуто. Часто к этому добавляют требование хаусдорфовости пространства.

Мера Радона — мера на сигма-алгебре борелевских множеств на хаусдорфовом топологическом пространстве X, которая является локально конечной и внутреннее регулярной.

Спектральная мера - это отображение, определённое на $\text{[math]}$ -алгебре подмножеств заданного множества, значения которого являются ортогональными проекторами в гильбертовом пространстве.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.