Комплексный многогранник

Комплексный многогранник — это обобщение многогранника в вещественном пространстве^[англ.] на аналогичную структуру в комплексном гильбертовом пространстве, где к каждой вещественной размерности добавляется мнимая.

Комплексный многогранник можно понимать как коллекцию комплексных точек, прямых, плоскостей и так далее, где в каждой точке пересекаются несколько прямых, в каждой прямой несколько плоскостей и т. д.

Точное определение существует только для правильных комплексных многогранников, которые являются конфигурациями. Правильные комплексные многогранники полностью описаны и могут быть описаны с помощью символической нотации, разработанной Коксетером.

Описаны также некоторые комплексные многогранники, не являющиеся правильными.

Определение и вводные замечания

Комплексная прямая $\mathbb {C} ^{1}$ имеет одну размерность с вещественными координатами и другую с мнимыми координатами. Если использованы вещественные координаты для обоих размерностей, говорят о задании двух размерностей над вещественными числами. Вещественная плоскость с мнимой осью называется диаграммой Аргана. Ввиду этого она называется иногда комплексной плоскостью. Комплексное 2-пространство (которое иногда также называется комплексной плоскостью) тогда является четырёхмерным пространством над вещественными числами.

Комплексный n-многогранник в комплексном n-пространстве аналогичен вещественному n-многограннику в вещественном n-пространстве.

Нет естественного комплексного аналога порядку точки на вещественной оси (или связанных комбинаторных свойств). Вследствие этого комплексный многогранник нельзя рассматривать как непрерывную поверхность и он не ограничивает внутренность, как это происходит в вещественном случае.

В случае правильных многогранников точное определение можно дать с помощью понятия симметрии. Для любого правильного многогранника группа симметрии (здесь, группа комплексных отражений, называемая группой Шепарда) действует транзитивно на флагах, то есть на вложенные наборы точек, содержащихся в прямых, которые принадлежат плоскости и так далее.

Более полно, говорят, что набор P аффинных подпространств (или плоскостей) комплексного унитарного пространства V размерности n является правильным комплексным многогранником, если он удовлетворяет следующим условиям^[1]^[2]:

для любых $-1\leqslant i<j<k\leqslant n$ , если F является плоскостью в P размерности i и H является плоскостью в P размерности k, такие, что $F\subset H$ , то существует по меньшей мере две плоскости G в P размерности j такие, что $F\subset G\subset H$ ;
для любых i, j, таких что $-1\leqslant i<j-2,j\leqslant n$ , если $F\subset G$ являются плоскостями пространства P размерностей i, j, то множество плоскостей между F и G связно, в том смысле, что можно получить из любого члена этого множества любой другой как последовательность вложений
подмножество унитарных преобразований V, не изменяющих P, транзитивно на флагах $F_{0}\subset F_{1}\subset \ldots \subset F_{n}$ плоскостей P (с $F_{i}$ размерности i для всех i) (Здесь под плоскостью размерности −1 понимается пустое множество). Таким образом, по определению, правильные комплексные многогранники — это конфигурации в комплексном пространстве.

Правильные комплексные многогранники были открыты Шепардом^[англ.] (1952) и их теория была позднее развита Коксетером (1974).

Три взгляда на *правильные комплексные многоугольники* ${_{4}}\{4\}{_{2}}$ ,
Этот комплексный многоугольник имеет 8 рёбер (комплексные прямые) с метками a..h и 16 вершин. Четыре вершины лежат на каждом ребре и в каждой вершине пересекаются два ребра. На левом рисунке квадраты не являются элементами многогранника, но нарисованы исключительно помочь распознать вершины, лежащие на той же самой комплексной прямой. Восьмиугольный периметр левого изображения не является элементом многогранника, но он является многоугольником Петри^[3]. На центральном рисунке каждое ребро представлено как вещественная прямая и четыре вершины на каждой прямой можно легко видеть.	Эскиз в перспективе, представляющий 16 вершин в виде чёрных точек и 8 4-рёбер как квадраты внутри каждого ребра. Зелёный путь представляет восьмиугольный периметр левого изображения.

Комплексный многогранник существует в комплексном пространстве эквивалентной размерности. Например, вершины комплексного многоугольника — это точки на комплексной плоскости $\mathbb {C} ^{2}$ , а рёбра — комплексные прямые $\mathbb {C} ^{1}$ , существующие как (аффинные) подпространства плоскости, пересекающиеся в вершинах. Таким образом, ребро может быть задано одним комплексным числом.

В правильном комплексном многограннике вершины, инцидентные ребру, располагаются симметрично относительно барицентра, который часто используется как начало координатной системы ребра (в вещественном случае барицентром является просто середина ребра). Симметрия возникает из комплексных отражений относительно барицентра. Это отражение оставляет модуль любой вершины неизменным, но меняет её аргумент на постоянную величину, передвигая её в координаты следующей по порядку вершины. Таким образом, мы можем считать (после подходящего выбора шкалы), что вершины ребра удовлетворяют уравнению $x^{p}-1=0$ , где p — число инцидентных вершин. Таким образом, на диаграмме Аргана ребра, точки вершины лежат в вершинах правильного многоугольника с центром в начале координат.

Выше проиллюстрированы три вещественные проекции правильного комплексного многоугольника 4{4}2 с рёбрами a, b, c, d, e, f, g, h. Многоугольник имеет 16 вершин, которые для удобства обзора индивидуально не помечены. Каждое ребро имеет четыре вершины, а каждая вершина лежит на двух рёбрах, поскольку каждое ребро пересекает четыре других ребра. На первой диаграмме каждое ребро представлено квадратом. Стороны квадрата не являются частями многоугольника, но нарисованы исключительно для облегчения визуальных связей четырёх вершин. Рёбра располагаются симметрично. (Заметьте, что диаграмма выглядит подобно B₄ плоской проекции Коксетера тессеракта, но структурно она другая).

На средней диаграмме не соблюдается восьмиугольная симметрия в пользу ясности. Каждое ребро показано как вещественная прямая, а каждая точка пересечения двух прямых является вершиной. Связь между различными рёбрами легко видеть.

Последняя диаграмма показывает структуру, спроецированную в трёхмерное пространство — два куба вершин, фактически, имеют один и тот же размер, но рассматриваются в перспективе с различного расстояния в четырёхмерном пространстве.

Правильные комплексные одномерные многогранники

Вещественный 1-мерный многогранник существует как замкнутый отрезок на вещественной прямой $\mathbb {R} ^{1}$ , определяемый двумя концами или вершинами. Его символом Шлефли — {} .

Аналогично, комплексный 1-многогранник существует как множество p из вершин на комплексной прямой $\mathbb {C} ^{1}$ . Они могут быть представлены как множество точек на диаграмме Аргана (x,y)=x+iy. Правильный комплексный 1-мерный многогранник _p{} имеет p (p ≥ 2) вершин, расположенных в виде выпуклого правильного многоугольника {p} на комплексной плоскости^[4].

В отличие от точек на вещественной прямой, точки на комплексной прямой не имеют естественного упорядочения. Тогда, в отличие от вещественных многогранников, нельзя определить никакой внутренности^[5]. Вопреки этому, комплексные 1-многогранники часто рисуют, как здесь, в виде ограниченных правильных многоугольник на комплексной плоскости.

Правильный вещественный 1-мерный многогранник представляется пустым символом Шлефли {} или диаграммой Коксетера — Дынкина . Точка или узел диаграммы Коксетера — Дынкина представляет генератор отражения, в то время как кружок вокруг узла означает, что точка генератора не находится на зеркале, так что её зеркальное отражение отличается от самой точки. Согласно расширенной нотации правильный комплексный 1-мерный многогранник в $\mathbb {C} ^{1}$ , содержащий p вершин, имеет диаграмму Коксетера — Дынкина для любого положительного целого p (большего или равного 2). Число p можно опустить, если оно равно 2. Этот многогранник может быть также представлен пустым символом Шлефли ${_{p}}\{\},\}{_{p}}\{,\{\}{_{p}}$ или ${_{p}}\{2\}{_{1}}$ . 1 — это заполнитель, представляющий несуществующее отражение или тождественный генератор с периодом 1. (0-многогранник, вещественный или комплексный — это точка и представляется как } {, или как ${_{1}}\{2\}{_{1}}$ .)

Симметрия обозначается диаграммой Коксетера и может быть альтернативно описана в нотации Коксетера^[англ.] как ${_{p}}[],[]{_{p}}$ , или $]{_{p}}[,{_{p}}[2]{_{1}}$ , или ${_{p}}[1]{_{p}}$ . Симметрия изоморфна циклической группе, порядка p^[6]. Подгруппами ${_{p}}[]$ являются любые полные делители $d,{_{d}}[]$ , где $d\geqslant 2$ .

Генератор унитарного оператора для выглядит как вращение на 2π/p радиан по часовой стрелке, а ребро образуется последовательным применением одного комплексного отражения. Генератор комплексного отражения для 1-многогранника с p вершинами — это $e^{2{\pi }i/p}=\cos(2{\pi }/p)+i\sin(2{\pi }/p)$ . Если p = 2, генератором будет $e^{{\pi }i}=-1$ , то же, что и центральная симметрия на вещественной плоскости.

В комплексных многогранниках большей размерности 1-многогранники образуют p-рёбра. 2-ребро подобно обычному вещественному ребру, поскольку содержит две вершины, но не обязательно существует на вещественной прямой.

Правильные комплексные многоугольники

Хотя 1-многогранники могут иметь неограниченную величину p, конечные правильные комплексные многоугольники, за исключением многоугольников двойных призм ${_{p}}\{4\}{_{2}}$ , ограничены 5-рёбрами (пятиугольные рёбра), а бесконечные правильные апейрогоны включают также 6-рёбра (шестиугольные рёбра).

Обозначения

Модифицированные Шепардом обозначения Шлефли

Шепард^[англ.] первоначально придумал модифицированную форму нотации Шлефли для правильных многогранников. Для многоугольника, ограниченного p₁-рёбрами, с p₂-множествами в качестве вершинных фигур и общей группой симметрии порядка g, мы обозначаем многоугольник как $p_{1}(g)p_{2}$ .

Число вершин V тогда равно $g/p_{2}$ , а число рёбер E равно $g/p_{1}$ .

Комплексный многоугольник, проиллюстрированный выше, имеет восемь квадратных рёбер ( $p_{1}=4$ ) и шестнадцать вершин ( $p_{2}=2$ ). Отсюда мы можем заключить, что g = 32, что даёт модифицированный символ Шлефли 4(32)2.

Пересмотренная нотация Шлефли

Более современная нотация ${_{p_{1}}}\{q\}{_{p_{2}}}$ принадлежит Коксетеру^[8] и основывается на теории групп. Символом группы симметрии будет ${_{p_{1}}}[q]{_{p_{2}}}$ .

Группа симметрии ${_{p_{1}}}[q]{_{p_{2}}}$ представлена двумя генераторами $R_{1},R_{2}$ , где: $R_{1}^{p_{1}}=R_{2}^{p_{2}}=I$ . Если q чётно, $(R_{2}R_{1})^{q/2}=(R_{1}R_{2})^{q/2}$ . Если q нечётно, $(R_{2}R_{1})^{(q-1)/2}R_{2}=(R_{1}R_{2})^{(q-1)/2}R_{1}$ . Когда q нечётно, $p_{1}=p_{2}$ .

Для ${_{4}}[4]{_{2}}$ имеет место $R_{1}^{4}=R_{2}^{2}=I$ , $(R_{2}R_{1})^{2}=(R_{1}R_{2})^{2}$ .

Для ${_{3}}[5]{_{3}}$ имеет место $R_{1}^{3}=R_{2}^{3}=I$ , $(R_{2}R_{1})^{2}R_{2}=(R_{1}R_{2})^{2}R_{1}$ .

Диаграммы Коксетера — Дынкина

Коксетер также обобщил использование диаграмм Коксетера — Дынкина на комплексные многогранники. Например, комплексный многоугольник ${_{p}}\{q\}{_{r}}$ представляется диаграммой , а эквивалентная группа симметрии ${_{p}}[q]{_{r}}$ представляется диаграммой без кружка . Узлы p и r представляют зеркала, дающие образы p и r на плоскости. Непомеченные узлы на диаграмме имеют 2 неявные метки. Например, вещественный правильный многоугольник имеет обозначение ${_{2}}\{q\}{_{2}}$ , или {q}, или .

Имеется ограничение: узлы, связанные нечётными порядками ветвления, должны иметь идентичные порядки узлов. Если это не так, группа создаст «звёздчатые» многогранники с накладывающимися элементами. Таким образом, и являются обычными многоугольниками, в то время как является звёздчатым.

Перечисление правильных многоугольников

Коксетер привёл список правильных комплексных многоугольников в $\mathbb {C} ^{2}$ . Правильный комплексный многоугольник, ${_{p}}\{q\}{_{r}}$ или , имеет p-рёбер и q-угольные вершинные фигуры. ${_{p}}\{q\}{_{r}}$ является конечным многогранником, если $(p+r)q>pr(q-2)$ .

Симметрия правильного многоугольника, записываемая как ${_{p}}[q]{_{r}}$ , называется группа Шепарда, по аналогии с группой Коксетера, позволяя как вещественные, так и комплексные отражения.

Для незвёздчатых групп порядок группы ${_{p}}[q]{_{r}}$ можно вычислить как $g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}$ ^[9].

Число Коксетера для ${_{p}}[q]{_{r}}$ равно $h=2/(1/p+2/q+1/r-1)$ , так что порядок группы может быть также вычислен как $g=2h^{2}/q$ . Правильный комплексный многочлен можно нарисовать в ортогональной проекции с h-гональной симметрией.

Решения ранга 2 генерируют следующие комплексные многоугольники:

Группа	$G_{3}=G(q,1,1)$	$G_{2}=G(p,1,2)$	$G_{4}$	$G_{6}$	G₅	G₈	G₁₄	G₉	G₁₀	G₂₀	G₁₆	G₂₁	G₁₇	G₁₈
	${_{2}}[q]{_{2}}$ , q=3,4…	${_{p}}[4]{_{2}}$ , p=2,3…	${_{3}}[3]{_{3}}$	${_{3}}[6]{_{2}}$	${_{3}}[4]{_{3}}$	${_{4}}[3]{_{4}}$	${_{3}}[8]{_{2}}$	${_{4}}[6]{_{2}}$	${_{4}}[4]{_{3}}$	${_{3}}[5]{_{3}}$	${_{5}}[3]{_{5}}$	${_{3}}[10]{_{2}}$	${_{5}}[6]{_{2}}$	${_{5}}[4]{_{3}}$

Порядок	2q	2p²	24	48	72	96	144	192	288	360	600	720	1200	1800

Исключены решения с нечётными q и неравными p и r: ${_{6}}[3]{_{2}},{_{6}}[3]{_{3}},{_{9}}[3]{_{3}},{_{1}2}[3]{_{3}},\ldots ,{_{5}}[5]{_{2}},{_{6}}[5]{_{2}},{_{8}}[5]{_{2}},{_{9}}[5]{_{2}},{_{4}}[7]{_{2}},{_{9}}[5]{_{2}},{_{3}}[9]{_{2}}$ , и ${_{3}}[11]{_{2}}$ .

Другие целые q с неравными p и r, создают звёздчатые группы с перекрывающимися фундаментальными областями: , , , , , и .

Двойственный многоугольник для многоугольника ${_{p}}\{q\}{_{r}}$ — это ${_{r}}\{q\}{_{p}}$ . Многоугольник вида ${_{p}}\{q\}{_{p}}$ самодвойственен. Группы вида ${_{p}}[2q]{_{2}}$ имеют половинную симметрию ${_{p}}[q]{_{p}}$ , так что правильный многоугольник является тем же, что и квазиправильный . Также правильный многоугольник с теми же порядками узлов, , имеет альтернированное^[англ.] построение , позволяющее смежным рёбрам иметь два различных цвета^[10].

Порядок группы, g, используется для вычисления полного числа вершин и рёбер. Многогранник имеет g/r вершин и g/p рёбер. Если p=r, число вершин и рёбер равно. Это условие необходимо, если q нечётно.

Группа	Порядок	Число Коксетера	Многоугольник		Вершины	Рёбра		Примечания
G(q, q,2) ${_{2}}[q]{_{2}}=[q]$ q=2,3,4,…	2q	q	${_{2}}\{q\}{_{2}}$		q	q	{}	Вещественные правильные многоугольники То же, что и То же, что и , если q чётно

Группа	Порядок	Число Коксетера	Многогранник		Вершины	Рёбра		Примечания
G(p,1,2) ${_{p}}[4]{_{2}}$ p=2,3,4,…	2p²	2p	$p(2p^{2})2$	${_{p}}\{4\}{_{2}}$	$p^{2}$	2p	${_{p}}\{\}$	то же, что и ${_{p}}\{\}{\times }{_{p}}\{\}$ или $\mathbb {R} ^{4}$ представление как p-p дуопризма
G(p,1,2) ${_{p}}[4]{_{2}}$ p=2,3,4,…	2p²	2p	2(2p²)p	${_{2}}\{4\}{_{p}}$	2p	$p^{2}$	{}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление как p-p дуопирамида^[англ.]
G(2,1,2) ${_{2}}[4]{_{2}}=[4]$	8	4		${_{2}}\{4\}{_{2}}=\{4\}$	4	4	{}	то же, что и {}×{} или Вещественный квадрат
G(3,1,2) ${_{3}}[4]{_{2}}$	18	6	6(18)2	${_{3}}\{4\}{_{2}}$	9	6	${_{3}}\{\}$	то же, что и ${_{3}}\{\}{\times }{_{3}}\{\}$ или $\mathbb {R} ^{4}$ представление как 3-3 дуопризма
G(3,1,2) ${_{3}}[4]{_{2}}$	18	6	2(18)3	${_{2}}\{4\}{_{3}}$	6	9	{}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление как 3-3 дуопризма
G(4,1,2) ${_{4}}[4]{_{2}}$	32	8	8(32)2	${_{4}}\{4\}{_{2}}$	16	8	${_{4}}\{\}$	то же, что и ${_{4}}\{\}{\times }{_{4}}\{\}$ или $\mathbb {R} ^{4}$ представление в виде 4-4 дуопризмы или {4,3,3}
G(4,1,2) ${_{4}}[4]{_{2}}$	32	8	2(32)4	${_{2}}\{4\}{_{4}}$	8	16	{}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление в виде 4-4 дуопризмы или {3,3,4}
G(5,1,2) ${_{5}}[4]{_{2}}$	50	25	5(50)2	${_{5}}\{4\}{_{2}}$	25	10	${_{5}}\{\}$	то же, что и ${_{5}}\{\}{\times }{_{5}}\{\}$ или $\mathbb {R} ^{4}$ представление как 5,5-дуопризма
G(5,1,2) ${_{5}}[4]{_{2}}$	50	25	2(50)5	${_{2}}\{4\}{_{5}}$	10	25	{}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление как 5-5 дуопирамида^[англ.]
G(6,1,2) ${_{6}}[4]{_{2}}$	72	36	6(72)2	₆{4}₂	36	12	${_{6}}\{\}$	то же, что и ${_{6}}\{\}{\times }{_{6}}\{\}$ или $\mathbb {R} ^{4}$ представление как 6-6 дуопризма^[англ.]
G(6,1,2) ${_{6}}[4]{_{2}}$	72	36	2(72)6	${_{2}}\{4\}{_{6}}$	12	36	{}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление как 6-6 дуопирамида^[англ.]
$G_{4}=G(1,1,2)$ ₃[3]₃ <2,3,3>	24	6	3(24)3	${_{3}}\{3\}{_{3}}$ ^[англ.]	8	8	${_{3}}\{\}$	Конфигурация Мёбиуса — Кантора самодвойственный, то же, что и $\mathbb {R} ^{4}$ представление как {3,3,4}
$G_{6}$ ${_{3}}[6]{_{2}}$	48	12	3(48)2	${_{3}}\{6\}{_{2}}$	24	16	₃{}	то же, что и $\mathbb {R} ^{4}$ представление как {3,4,3}
				${_{3}}\{3\}{_{2}}$	24	16	₃{}	звёздчатый многоугольник
			2(48)3	${_{2}}\{6\}{_{3}}$	16	24	{}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление как {4,3,3}
				${_{2}}\{3\}{_{3}}$	16	24	{}	звёздчатый многоугольник
G₅ ₃[4]₃	72	12	3(72)3	${_{3}}\{4\}{_{3}}$	24	24	₃{}	самодвойственный, то же, что и $\mathbb {R} ^{4}$ представление как {3,4,3}
G₈ ₄[3]₄	96	12	4(96)4	₄{3}₄	24	24	₄{}	самодвойственный, то же, что и $\mathbb {R} ^{4}$ представление как {3,4,3}
G₁₄ ${_{3}}[8]{_{2}}$	144	24	3(144)2	${_{3}}\{8\}{_{2}}$	72	48	₃{}	то же, что и
				₃{8/3}₂	72	48	₃{}	звёздчатый многоугольник, то же, что и
			2(144)3	₂{8}₃	48	72	{}
				₂{8/3}₃	48	72	{}	звёздчатый многоугольник
G₉ ₄[6]₂	192	24	4(192)2	₄{6}₂	96	48	₄{}	то же, что и
			2(192)4	₂{6}₄	48	96	{}
				₄{3}₂	96	48	{}	звёздчатый многоугольник
				₂{3}₄	48	96	{}	звёздчатый многоугольник
G₁₀ ₄[4]₃	288	24	4(288)3	₄{4}₃	96	72	₄{}
		12		₄{8/3}₃	96	72	₄{}	звёздчатый многоугольник
		24	3(288)4	₃{4}₄	72	96	₃{}
		12		₃{8/3}₄	72	96	₃{}	звёздчатый многоугольник
G₂₀ ₃[5]₃	360	30	3(360)3	₃{5}₃	120	120	₃{}	самодвойственный, то же, что и $\mathbb {R} ^{4}$ представление как {3,3,5}
G₂₀ ₃[5]₃	360	30		₃{5/2}₃	120	120	₃{}	самодвойственный, звёздчатый многоугольник
G₁₆ ₅[3]₅	600	30	5(600)5	₅{3}₅	120	120	₅{}	самодвойственный, то же, что и $\mathbb {R} ^{4}$ представление как {3,3,5}
G₁₆ ₅[3]₅	600	10		₅{5/2}₅	120	120	₅{}	самодвойственный, звёздчатый многоугольник
G₂₁ ₃[10]₂	720	60	3(720)2	₃{10}₂	360	240	₃{}	то же, что и
				₃{5}₂				звёздчатый многоугольник
				₃{10/3}₂				звёздчатый многоугольник, то же, что и
				₃{5/2}₂				звёздчатый многоугольник
			2(720)3	₂{10}₃	240	360	{}
				₂{5}₃				звёздчатый многоугольник
				₂{10/3}₃				звёздчатый многоугольник
				₂{5/2}₃				звёздчатый многоугольник
G₁₇ ₅[6]₂	1200	60	5(1200)2	₅{6}₂	600	240	₅{}	то же, что и $\mathbb {R} ^{4}$ представление как {5,3,3}
		20		₅{5}₂				звёздчатый многоугольник
		20		₅{10/3}₂				звёздчатый многоугольник
		60		₅{3}₂				звёздчатый многоугольник
		60	2(1200)5	₂{6}₅	240	600	{}
		20		₂{5}₅				звёздчатый многоугольник
		20		₂{10/3}₅				звёздчатый многоугольник
		60		₂{3}₅				звёздчатый многоугольник
G₁₈ ₅[4]₃	1800	60	5(1800)3	₅{4}₃	600	360	₅{}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление как {5,3,3}
		15		₅{10/3}₃				звёздчатый многоугольник
		30		₅{3}₃				звёздчатый многоугольник
		30		₅{5/2}₃				звёздчатый многоугольник
		60	3(1800)5	₃{4}₅	360	600	₃{}
		15		₃{10/3}₅				звёздчатый многоугольник
		30		₃{3}₅				звёздчатый многоугольник
		30		₃{5/2}₅				звёздчатый многоугольник

Визуализация правильных комплексных многоугольников

Многоугольники вида _p{2r}_q можно визуализировать q цветных множеств p-рёбер. Каждое p-ребро выглядит как правильный многоугольник, но нет никаких граней.

2D-ортогональные проекции комплексных многоугольников ${_{2}}\{r\}{_{q}}$

Многогранники вида ${_{2}}\{4\}{_{q}}$ называются обобщёнными ортоплексами. Они имеют те же вершины, что и 4D q-q дуопирамиды^[англ.], в которых вершины соединены 2-рёбрами.

₂{4}₂, ,
с 4 вершинами
и 4 рёбрами
₂{4}₃, ,
с 6 вершинами и
9 рёбрами ^[11]
₂{4}₄, ,
с 8 вершинами
и 16 рёбрами
₂{4}₅, ,
с 10 вершинами
и 25 рёбрами
₂{4}₆, ,
с 12 вершинами
и 36 рёбрами
₂{4}₇, ,
с 14 вершинами
и 49 рёбрами
₂{4}₈, ,
с 16 вершинами
и 64 рёбрами
₂{4}₉, ,
с 18 вершинами
и 81 ребром
₂{4}₁₀, ,
с 20 вершинами
и 100 рёбрами

Комплексные многоугольники ${_{p}}\{4\}{_{2}}$

Многоугольники вида ${_{p}}\{4\}{_{2}}$ называются обобщёнными гиперкубами (квадратами для многоугольников). Многоугольники имеют те же вершины, что и 4D p-p дуопризмы, вершины соединены p-рёбрами. Вершины нарисованы зелёными и p-рёбра нарисованы поочерёдно красными и синими. Проекция слегка искажена для нечётных размерностей, чтобы сдвинуть накладывающиеся вершины от центра.

₂{4}₂, или ,
с 4 вершинами
и 4 2-ребрами
₃{4}₂, или ,
с 9 вершинами
и 6 (треугольными) 3-рёбрами^[11]
₄{4}₂, или ,
с 16 вершинами
и 8 (квадратными) 4-рёбрами
₄{4}₂, или ,
с 25 вершинами
и 10 (пятиугольными) 5-рёбрами
₄{4}₂, или ,
с 36 вершинами
и 12 (шестиугольными) 6-рёбрами
₄{4}₂, или ,
с 49 вершинами
и 14 (семиугольными) 7-рёбрами
₄{4}₂, или ,
с 64 вершинами
и 16 (восьмиугольными) 8-рёбрами
₄{4}₂, или ,
с 81 вершиной
и 18 (девятиугольными) 9-рёбрами
₄{4}₂, или ,
со 100 вершинами
и 20 (десятиугольными) 10-рёбрами

3D-перспективные проекции комплексных многоугольников _p{4}₂

₃{4}₂, или
с 9 вершинами, 6 3-рёбер с 2 множествами цветов
₄{4}₂, или
с 16 вершинами, 8 4-рёбрами в 2 множествах столбцов (закрашены квадратные 4-рёбра)
₅{4}₂, или с 25 вершинами, 10 5-рёбрами в 2 множествах цветов

Другие комплексные многоугольники _p{r}₂

₃{6}₂, или , 24 вершины (чёрные) и 16 3-ребра, выкрашены в 2 цвета (красные и синие)^[12]
₃{8}₂, или , 72 вершины (чёрные) и 48 3-рёбер, выкрашенных в 2 цвета (красные и синие)^[13]

2D-ортогональные проекции комплексных многоугольников, _p{r}_p

Многоугольники вида ${_{p}}\{r\}{_{p}}$ имеют равное число вершин и рёбер. Они также самодвойственны.

₃{3}₃^[англ.], или ,
с 8 вершинами (чёрные) и 8 3-рёбер, выкрашенных в 2 цвета (красные и синие)^[14]
₃{4}₃, или ,
с 24 вершинами и 24 3-ребра, показанных в 3 цвета ^[15]
₄{3}₄, или ,
с 24 вершинами и 24 4-рёбрами, показанных в 4 цвета ^[15]
₃{5}₃, или ,
со 120 вершинами и 120 3-рёбер^[16]
₅{3}₅, или ,
со 120 вершинами и 120 5-рёбер^[17]

Правильные комплексные многогранники

В общем случае, правильный комплексный многогранник представляется символом Коксетера ${_{p}}\{z_{1}\}{_{q}}\{z_{2}\}{_{r}}\{z_{3}\}{_{s}}\ldots$ или диаграммой Коксетера …, имеющей симметрию ${_{p}}[z_{1}]{_{q}}[z_{2}]{_{r}}[z_{3}]{_{s}}$ … или ….^[18]

Существуют бесконечные семейства правильных комплексных многогранников, которые появляются во всех размерностях. Эти семейства обобщают гиперкубы и ортаэдры в вещественном пространстве. «Обобщённый гиперпрямоугольник» Шепарда обобщает гиперкуб. Он имеет символ ${\gamma }_{n}^{p}={_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\ldots {_{2}}\{3\}{_{2}}$ и диаграмму …. Его группа симметрии имеет диаграмму ${_{p}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}\ldots {_{2}}[3]{_{2}}$ . В классификации Шепарда—Тодда это группа G(p, 1, n), обобщающая знаковые матрицы перестановок. Его двойственный правильный многогранник, «обобщённый кросс-многогранник», представляется символом $\beta _{n}^{p}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\ldots {_{2}}\{4\}{_{p}}$ и диаграммой …^[19].

1-мерный правильный комплексный многогранник в $\mathbb {C} ^{1}$ представляется как , имеет p вершин и имеет вещественное представление в виде правильного многоугольника {p}. Коксетер также даёт ему символ $\gamma _{1}^{p}$ или $\beta _{1}^{p}$ как 1-мерный обобщённый гиперкуб или кросс-многогранник. Его симметрия — ${_{p}}[]$ или , циклическая группа порядка p. В многогранниках более высокого порядка, ${_{p}}\{\}$ или представляет элемент p-ребра. Так, 2-ребро, {} или представляет обычное ребро между двумя вершинами^[20].

Двойственный комплексный многогранник строится путём обмена k-го и (n-1-k)-го элементов n-многогранника. Например, двойственный комплексный многоугольник имеет вершины в середине каждого ребра, а новые рёбра имеют центры в старых вершинах. v-валентная вершина создаёт новое v-ребро, а e-ребро становится e-валентной вершиной^[21]. Двойственный многогранник правильного комплексного многогранника имеет обратный символ (то есть записанный в обратном порядке). Правильные комплексные многогранники, имеющие симметричные символы, то есть ${_{p}}\{q\}{_{p}}$ , ${_{p}}\{q\}{_{r}}\{q\}{_{p}}$ , ${_{p}}\{q\}{_{r}}\{s\}{_{r}}\{q\}{_{p}}$ и т. д., являются самодвойственными.

Перечисление правильных комплексных многогранников

Коксетер перечислил незвёздчатые правильные комплексные многогранники в пространстве $\mathbb {C} ^{3}$ , включая 5 правильных многогранников в $\mathbb {R} ^{3}$ ^[22].

Правильный комплексный многогранник ${_{p}}\{n_{1}\}{_{q}}\{n_{2}\}{_{r}}$ или , имеет грани, рёбра и вершинные фигуры.

Комплексный правильный многогранник ${_{p}}\{n_{1}\}{_{q}}\{n_{2}\}{_{r}}$ требует, чтобы как g₁ = порядок( ${_{p}}[n_{1}]_{q}$ ), так и g₂ = порядок( ${_{q}}[n_{2}]{_{r}}$ ) были конечными.

Если g = порядок( ${_{p}}[n_{1}]{_{q}}[n_{2}]{_{r}}$ ), число вершин равно g/g₂ и число граней равно $g/g_{1}$ . Число рёбер равно g/pr.

Простран ство	Группа	Порядок	Число Коксетера	Многоугольник	Вершин	Рёбер		Граней		Вершинная фигура	Многоугольник ванн Осса	Примечания
$\mathbb {R} ^{3}$	G(1,1,3) ${_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}$ = [3,3]	24	4	$\alpha _{3}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ = {3,3}	4	6	{}	4	{3}	{3}	—	Вещественный тетраэдр То же, что и
$\mathbb {R} ^{3}$	G₂₃ ${_{2}}[3]{_{2}}[5]{_{2}}$ = [3,5]	120	10	${_{2}}\{3\}{_{2}}\{5\}{_{2}}=\{3,5\}$	12	30	{}	20	{3}	{5}	—	Вещественный икосаэдр
$\mathbb {R} ^{3}$	G₂₃ ${_{2}}[3]{_{2}}[5]{_{2}}$ = [3,5]	120	10	${_{2}}\{5\}{_{2}}\{3\}{_{2}}=\{5,3\}$	20	30	{}	12	{5}	{3}	—	Вещественный додекаэдр
$\mathbb {R} ^{3}$	G(2,1,3) ${_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}$ = [3,4]	48	6	$\beta _{3}^{2}=\beta _{3}=\{3,4\}$	6	12	{}	8	{3}	{4}	{4}	Вещественный октаэдр То же, что и {}+{}+{}, порядок 8 То же, что и , порядок 24
$\mathbb {R} ^{3}$	G(2,1,3) ${_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}$ = [3,4]	48	6	$\gamma _{3}^{2}=\gamma _{3}=\{4,3\}$	8	12	{}	6	{4}	{3}	—	Вещественный куб То же, что и {}×{}×{} или
$\mathbb {C} ^{3}$	G(p,1,3) ₂[3]₂[4]_p p=2,3,4,…	6p³	3p	$\beta _{3}^{p}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{p}}$	3p	$3p^{2}$	{}	p³	{3}	${_{2}}\{4\}{_{p}}$	${_{2}}\{4\}{_{p}}$	Обобщённый октаэдр То же, что и ${_{p}}\{\}+{_{p}}\{\}+{_{p}}\{\}$ , порядок p³ То же, что и , порядок 6p²
$\mathbb {C} ^{3}$	G(p,1,3) ₂[3]₂[4]_p p=2,3,4,…	6p³	3p	$\gamma _{3}^{p}={_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	p³	3p²	_p{}	3p	${_{p}}\{4\}{_{2}}$	{3}	—	Обобщённый куб То же, что и ${_{p}}\{\}{\times }_{p}\{\}{\times }_{p}\{\}$ или
$\mathbb {C} ^{3}$	G(3,1,3) ₂[3]₂[4]₃	162	9	$\beta _{3}^{3}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{3}}$	9	27	{}	27	{3}	${_{2}}\{4\}{_{3}}$	${_{2}}\{4\}{_{3}}$	То же, что и ${_{3}}\{\}+{_{3}}\{\}+{_{3}}\{\}$ , порядок 27 То же, что и , порядок 54
$\mathbb {C} ^{3}$	G(3,1,3) ₂[3]₂[4]₃	162	9	$\gamma _{3}^{3}={_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	27	27	₃{}	9	₃{4}₂	{3}	—	То же, что и ${_{3}}\{\}{\times }{_{3}}\{\}{\times }{_{3}}\{\}$ или
$\mathbb {C} ^{3}$	G(4,1,3) ${_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{4}}$	384	12	$\beta _{3}^{4}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{4}}$	12	48	{}	64	{3}	${_{2}}\{4\}{_{4}}$	${_{2}}\{4\}{_{4}}$	То же, что и ${_{4}}\{\}+{_{4}}\{\}+{_{4}}\{\}$ , порядок 64 То же, что и , порядок 96
$\mathbb {C} ^{3}$	G(4,1,3) ${_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{4}}$	384	12	$\gamma _{3}^{4}={_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	64	48	₄{}	12	${_{4}}\{4\}{_{2}}$	{3}	—	То же, что и ${_{4}}\{\}{\times }{_{4}}\{\}{\times }{_{4}}\{\}$ или
$\mathbb {C} ^{3}$	G(5,1,3) ₂[3]₂[4]₅	750	15	$\beta _{3}^{5}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{5}}$	15	75	{}	125	{3}	${_{2}}\{4\}{_{5}}$	${_{2}}\{4\}{_{5}}$	То же, что и ${_{5}}\{\}+{_{5}}\{\}+{_{5}}\{\}$ , порядок 125 То же, что и , порядок 150
$\mathbb {C} ^{3}$	G(5,1,3) ₂[3]₂[4]₅	750	15	$\gamma _{3}^{5}={_{5}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	125	75	₅{}	15	${_{5}}\{4\}{_{2}}$	{3}	—	То же, что и ${_{5}}\{\}{\times }{_{5}}\{\}{\times }{_{5}}\{\}$ или
$\mathbb {C} ^{3}$	G(6,1,3) ₂[3]₂[4]₆	1296	18	$\beta _{3}^{6}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{6}}$	36	108	{}	216	{3}	₂{4}₆	₂{4}₆	То же, что и ₆{}+₆{}+₆{}, порядок 216 То же, что и , порядок 216
$\mathbb {C} ^{3}$	G(6,1,3) ₂[3]₂[4]₆	1296	18	$\gamma _{3}^{6}={_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	216	108	₆{}	18	₆{4}₂	{3}	—	То же, что и ${_{6}}\{\}{\times }{_{6}}\{\}{\times }{_{6}}\{\}$ или
$\mathbb {C} ^{3}$	G₂₅ ₃[3]₃[3]₃	648	9	₃{3}₃{3}₃	27	72	₃{}	27	₃{3}₃	₃{3}₃	₃{4}₂	То же, что и . $\mathbb {R} ^{6}$ представление как 2₂₁^[англ.] Многогранник Гессе^[англ.]
	G₂₆ ₂[4]₃[3]₃	1296	18	₂{4}₃{3}₃	54	216	{}	72	₂{4}₃	₃{3}₃	{6}
	G₂₆ ₂[4]₃[3]₃	1296	18	₃{3}₃{4}₂	72	216	₃{}	54	₃{3}₃	₃{4}₂	₃{4}₃	То же, что и $\mathbb {R} ^{6}$ представление как 1₂₂^[англ.]

Визуализация правильных комплексных многогранников

2D-ортогональные проекции комплексных многогранников, _p{s}_t{r}_r

Вещественный {3,3}, или ,
имеет 4 вершины, 6 рёбер и 4 грани
₃{3}₃{3}₃^[англ.], или ,
имеет 27 вершин, 72 3-ребра и 27 граней, одна грань выделена синим цветом^[23].
₂{4}₃{3}₃, ,
имеет 54 вершины, 216 простых рёбер и 72 грани, одна грань выделена синим цветом^[24]/
₃{3}₃{4}₂^[англ.], или ,
имеет 72 вершины, 216 3-рёбер и 54 вершины, одна грань выделена синим цветом^[25].

Обобщённые октаэдры

Обобщённые октаэдры имеют построение как правильные формы и как квазиправильные виды . Все элементы являются симплексами.

Вещественный {3,4}, или , 6 вершин, 12 рёбер и 8 граней
₂{3}₂{4}₃, или , 9 вершин, 27 рёбер и 27 граней
₂{3}₂{4}₄, или , 12 вершин, 48 рёбер и 64 граней
₂{3}₂{4}₅, или , 15 вершин, 75 рёбер и 125 граней
₂{3}₂{4}₆, или , 18 вершин, 108 рёбер и 216 граней
₂{3}₂{4}₇, или , 21 вершина, 147 рёбер и 343 грани
₂{3}₂{4}₈, или , 24 вершины, 192 ребра и 512 граней
₂{3}₂{4}₉, или , 27 вершин, 243 ребра и 729 граней
₂{3}₂{4}₁₀, или , 30 вершин, 300 рёбер и 1000 граней

Обобщённые кубы

Обобщённые кубы имеют построение как правильные формы и как призматические , произведение трёх p-угольных 1-многогранников. Элементами являются обобщённые кубы меньшей размерности.

Вещественный {4,3}, или ,
имеет 8 вершин, 12 рёбер и 6 граней
₃{4}₂{3}₂, или ,
имеет 27 вершин, 27 3-рёбер и 9 граней ^[23]
₄{4}₂{3}₂, или , имеет 64 вершины, 48 рёбер и 12 граней
₅{4}₂{3}₂, или , имеет 125 вершин, 75 рёбер и 15 граней
₆{4}₂{3}₂, или , иммет 216 вершин, 108 рёбер и 18 граней
₇{4}₂{3}₂, или , имеет 343 вершины, 147 рёбер и 21 грань
₈{4}₂{3}₂, или , имеет 512 вершин, 192 ребра и 24 грани
₉{4}₂{3}₂, или , имеет 729 вершин, 243 ребра и 27 граней
₁₀{4}₂{3}₂, или , имеет 1000 вершин, 300 рёбер и 30 граней

Перечисление правильных комплексных 4-многогранников

Коксетер перечислил незвёздчатые правильные комплексные 4-многогранники в $\mathbb {C} ^{4}$ , включая 6 выпуклых правильных 4-многогранников в $\mathbb {R} ^{4}$ ^[26].

Простран- ство	Группа	Порядок	Число Коксетера	Многогранник	Вершины	Рёбра	Грани	Ячейки	Многоугольник ван Осса	Примечания
$\mathbb {R} ^{4}$	G(1,1,4) ${_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}$ = [3,3,3]	120	5	$\alpha _{4}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ = {3,3,3}	5	10 {}	10 {3}	5 {3,3}	—	Вещественный Пятиячейник (симплекс)
$\mathbb {R} ^{4}$	G₂₈ ${_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}$ = [3,4,3]	1152	12	${_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}=\{3,4,3\}$	24	96 {}	96 {3}	24 {3,4}	{6}	Вещественный двадцатичетырёхъячейник
	G₃₀ ${_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[5]{_{2}}$ = [3,3,5]	14400	30	${_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{5\}{_{2}}=\{3,3,5\}$	120	720 {}	1200 {3}	600 {3,3}	{10}	Вещественный шестисотячейник
	G₃₀ ${_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[5]{_{2}}$ = [3,3,5]	14400	30	${_{2}}\{5\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}=\{5,3,3\}$	600	1200 {}	720 {5}	120 {5,3}	{10}	Вещественный стодвадцатиячейник
$\mathbb {R} ^{4}$	G(2,1,4) ${_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{p}}$ =[3,3,4]	384	8	$\beta _{4}^{2}=\beta _{4}=\{3,3,4\}$	8	24 {}	32 {3}	16 {3,3}	{4}	Вещественный шестнадцатиячейник То же, что и , порядок 192
$\mathbb {R} ^{4}$	G(2,1,4) ${_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{p}}$ =[3,3,4]	384	8	$\gamma _{4}^{2}=\gamma _{4}=\{4,3,3\}$	16	32 {}	24 {4}	8 {4,3}	—	Вещественный тессеракт То же, что и {}⁴ или , порядок 16
$\mathbb {C} ^{4}$	G(p,1,4) ₂[3]₂[3]₂[4]_p p=2,3,4,…	24p⁴	4p	$\beta _{4}^{p}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{p}}$	4p	6p² {}	4p³ {3}	p⁴ {3,3}	₂{4}_p	Обобщённый 4-ортоплекс То же, что и , порядок 24p³
$\mathbb {C} ^{4}$	G(p,1,4) ₂[3]₂[3]₂[4]_p p=2,3,4,…	24p⁴	4p	$\gamma _{4}^{p}={_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	p⁴	4p³ _p{}	6p² _p{4}₂	4p ${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	—	Обобщённый тессеракт То же, что и _p{}⁴ или , порядок p⁴
$\mathbb {C} ^{4}$	G(3,1,4) ₂[3]₂[3]₂[4]₃	1944	12	$\beta _{4}^{3}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{3}}$	12	54 {}	108 {3}	81 {3,3}	₂{4}₃	Обобщённый 4-ортоплекс То же, что и , порядок 648
$\mathbb {C} ^{4}$	G(3,1,4) ₂[3]₂[3]₂[4]₃	1944	12	$\gamma _{4}^{3}={_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	81	108 ₃{}	54 ₃{4}₂	12 ₃{4}₂{3}₂	—	То же, что и ₃{}⁴ или , порядок 81
$\mathbb {C} ^{4}$	G(4,1,4) ₂[3]₂[3]₂[4]₄	6144	16	$\beta _{4}^{4}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{4}}$	16	96 {}	256 {3}	64 {3,3}	${_{2}}\{4\}{_{4}}$	То же, что и , порядок 1536
$\mathbb {C} ^{4}$	G(4,1,4) ₂[3]₂[3]₂[4]₄	6144	16	$\gamma _{4}^{4}={_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	256	256 ₄{}	96 ₄{4}₂	16 ₄{4}₂{3}₂	—	То же, что и ₄{}⁴ или , порядок 256
$\mathbb {C} ^{4}$	G(5,1,4) ₂[3]₂[3]₂[4]₅	15000	20	$\beta _{4}^{5}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{5}}$	20	150 {}	500 {3}	625 {3,3}	₂{4}₅	То же, что и , порядок 3000
$\mathbb {C} ^{4}$	G(5,1,4) ₂[3]₂[3]₂[4]₅	15000	20	$\gamma _{4}^{5}={_{5}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	625	500 ₅{}	150 ₅{4}₂	20 ${_{5}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	—	То же, что и ₅{}⁴ или , порядок 625
$\mathbb {C} ^{4}$	G(6,1,4) ₂[3]₂[3]₂[4]₆	31104	24	$\beta _{4}^{6}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{6}}$	24	216 {}	864 {3}	1296 {3,3}	${_{2}}\{4\}{_{6}}$	То же, что и , порядок 5184
$\mathbb {C} ^{4}$	G(6,1,4) ₂[3]₂[3]₂[4]₆	31104	24	$\gamma _{4}^{6}={_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	1296	864 ₆{}	216 ₆{4}₂	24 ${_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	—	То же, что и ₆{}⁴ или , порядок 1296
$\mathbb {C} ^{4}$	G₃₂ ₃[3]₃[3]₃[3]₃	155520	30	₃{3}₃{3}₃{3}₃	240	2160 ₃{}	2160 ₃{3}₃	240 ₃{3}₃{3}₃	₃{4}₃	Многогранник Виттинга^[англ.] $\mathbb {R} ^{8}$ представление как 4₂₁^[англ.]

Визуализация правильных комплексных 4-многогранников

Вещественный {3,3,3}, , имеет 5 вершин, 10 рёбер, 10 {3} граней и 5 {3,3} ячеек
Вещественный {3,4,3}, , имеет 24 вершины, 96 рёбер, 96 {3} граней и 24 {3,4} ячейки
Вещественный {5,3,3}, , имеет 600 вершин, 1200 рёбер, 720 {5} граней и 120 {5,3} ячеек
Вещественный {3,3,5}, , имеет 120 вершин, 720 рёбер, 1200 {3} граней и 600 {3,3} ячеек
Многогранник Виттинга^[англ.], ,
имеет 240 вершин, 2160 3-рёбер, 2160 3{3}3 граней и 240 3{3}3{3}3 ячеек

Обобщённые 4-ортоплексы

Обобщённые 4-ортоплексы имеют построение как правильные види и квазиправильные виды как. Все элементы являются симплексами.

Вещественный {3,3,4}, или ,
с 8 вершинами, 24 ребра, 32 грани и 16 ячеек
₂{3}₂{3}₂{4}₃, или ,
с 12 вершинами, 54 ребра, 108 граней и 81 ячейка
₂{3}₂{3}₂{4}₄, или ,
с 16 вершинами, 96 рёбрами, 256 рёбрами и 256 ячеек
₂{3}₂{3}₂{4}₅, или ,
с 20 вершинами, 150 рёбрами, 500 граней и 625 ячеек
₂{3}₂{3}₂{4}₆, или ,
с 24 вершинами, 216 рёбрами, 864 грани и 1296 ячеек
₂{3}₂{3}₂{4}₇, или ,
с 28 вершинами, 294 рёбрами, 1372 грани и 2401 ячейка
₂{3}₂{3}₂{4}₈, или ,
с 32 вершинами, 384 рёбрами, 2048 граней и 4096 ячеек
₂{3}₂{3}₂{4}₉, или ,
с 36 вершинами, 486 рёбрами, 2916 граней и 6561 ячейка
₂{3}₂{3}₂{4}₁₀, или ,
с 40 вершинами, 600 рёбрами, 4000 граней и 10000 ячеек

Обобщённые 4-кубы

Обобщённые тессеракты имеют построение как правильные формы и как призматические виды , произведение четырёх p-угольных 1-многогранников. Элементами являются обобщённые кубы меньшей размерности.

Вещественный {4,3,3}, или , 16 вершин, 32 ребра, 24 грани и 8 ячеек
${_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ , или ,
81 вершина, 108 рёбер, 54 грани и 12 ячеек
${_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ , или ,
256 вершин, 96 рёбер, 96 граней и 16 ячеек
${_{5}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ , или ,
625 вершин, 500 рёбер, 150 граней и 20 ячеек
${_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ , или ,
1296 вершин, 864 ребра, 216 граней и 24 ячейки
${_{7}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ , или ,
2401 вершина, 1372 ребра, 294 грани и 28 ячеек
${_{8}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ , или ,
4096 вершин, 2048 рёбер, 384 грани и 32 ячейки
${_{9}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ , или ,
6561 вершина, 2916 рёбер, 486 граней и 36 ячеек
${_{1}0}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ , или ,
10000 вершин, 4000 рёбер, 600 граней и 40 ячеек

Перечисление правильных комплексных 5-многогранников

Правильные комплексные 5-многогранники в $\mathbb {C} ^{5}$ и более высоких размерностях существуют в виде трёх семейств, вещественные симплексы, обобщённые гиперкубы и ортоплексы.

Простран- ство	Группа	Порядок	Многогранник	Вершины	Рёбра	Грани	Ячейки	4-грани	Много- угольник ван Осса	Примечания
$\mathbb {R} ^{5}$	G(1,1,5) = [3,3,3,3]	720	α₅ = {3,3,3,3}	6	15 {}	20 {3}	15 {3,3}	6 {3,3,3}	—	Вещественный правильный 5-симплекс
$\mathbb {R} ^{5}$	G(2,1,5) =[3,3,3,4]	3840	$\beta _{5}^{2}=\beta _{5}=\{3,3,3,4\}$	10	40 {}	80 {3}	80 {3,3}	32 {3,3,3}	{4}	Вещественный 5-ортоплекс То же, что и , порядок 1920
$\mathbb {R} ^{5}$	G(2,1,5) =[3,3,3,4]	3840	$\gamma _{5}^{2}=\gamma _{5}=\{4,3,3,3\}$	32	80 {}	80 {4}	40 {4,3}	10 {4,3,3}	—	Вещественный пентеракт То же, что и {}⁵ или , порядок 32
$\mathbb {C} ^{5}$	G(p,1,5) ₂[3]₂[3]₂[3]₂[4]_p	120p⁵	$\beta _{5}^{p}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{p}}$	5p	10p² {}	10p³ {3}	5p⁴ {3,3}	p⁵ {3,3,3}	${_{2}}\{4\}{_{p}}$	Обобщённый 5-ортоплекс То же, что и , порядок 120p⁴
$\mathbb {C} ^{5}$	G(p,1,5) ₂[3]₂[3]₂[3]₂[4]_p	120p⁵	$\gamma _{5}^{p}={_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	p⁵	5p⁴ _p{}	10p³ ${_{p}}\{4\}{_{2}}$	10p² ${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	5p ${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	—	Обобщённый пентеракт То же, что и _p{}⁵ или , порядок p⁵
$\mathbb {C} ^{5}$	G(3,1,5) ${_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{3}}$	29160	$\beta _{5}^{3}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{3}}$	15	90 {}	270 {3}	405 {3,3}	243 {3,3,3}	₂{4}₃	То же, что и , порядок 9720
$\mathbb {C} ^{5}$	G(3,1,5) ${_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{3}}$	29160	$\gamma _{5}^{3}={_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	243	405 ₃{}	270 ${_{3}}\{4\}{_{2}}$	90 ${_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	15 ${_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	—	То же, что и ₃{}⁵ или , порядок 243
$\mathbb {C} ^{5}$	G(4,1,5) ₂[3]₂[3]₂[3]₂[4]₄	122880	$\beta _{5}^{4}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{4}}$	20	160 {}	640 {3}	1280 {3,3}	1024 {3,3,3}	₂{4}₄	То же, что и , порядок 30720
$\mathbb {C} ^{5}$	G(4,1,5) ₂[3]₂[3]₂[3]₂[4]₄	122880	$\gamma _{5}^{4}={_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	1024	1280 ₄{}	640 ₄{4}₂	160 ${_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	20 ${_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	—	То же, что и ₄{}⁵ или , порядок 1024
$\mathbb {C} ^{5}$	G(5,1,5) ₂[3]₂[3]₂[3]₂[4]₅	375000	$\beta _{5}^{5}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{5\}{_{5}}$	25	250 {}	1250 {3}	3125 {3,3}	3125 {3,3,3}	₂{5}₅	То же, что и , порядок 75000
$\mathbb {C} ^{5}$	G(5,1,5) ₂[3]₂[3]₂[3]₂[4]₅	375000	$\gamma _{5}^{5}={_{5}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	3125	3125 ₅{}	1250 ${_{5}}\{5\}{_{2}}$	250 ${_{5}}\{5\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	25 ${_{5}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	—	То же, что и ₅{}⁵ или , порядок 3125
$\mathbb {C} ^{5}$	G(6,1,5) ₂[3]₂[3]₂[3]₂[4]₆	933210	$\beta _{5}^{6}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{6}}$	30	360 {}	2160 {3}	6480 {3,3}	7776 {3,3,3}	${_{2}}\{4\}{_{6}}$	То же, что и , порядок 155520
$\mathbb {C} ^{5}$	G(6,1,5) ₂[3]₂[3]₂[3]₂[4]₆	933210	$\gamma _{5}^{6}={_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	7776	6480 ₆{}	2160 ${_{6}}\{4\}{_{2}}$	360 ${_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	30 ${_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	—	То же, что и ₆{}⁵ или , порядок 7776

Визуализация правильных комплексных 5-многогранников

Обобщёные 5-ортоплексы

Обобщённые 5-ортоплексы имеют построение как правильные формы и как квазиправильные . Все элементы являются симплексами.

Вещественный {3,3,3,4}, ,
10 вершин, 40 рёбер,
80 граней, 80 ячеек и 32 4-грани
₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₃, ,
15 вершин, 90 рёбер,
270 граней, 405 ячеек и 243 4-грани
₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₄, ,
20 вершин, 160 рёбер,
640 граней, 1280 ячеек и 1024 4-грани
₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₅, ,
25 вершин, 250 рёбер,
1250 граней, 3125 ячеек и 3125 4 граней
₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₆, ,
30 вершин, 360 рёбер,
2160 граней, 6480 ячеек, 7776 4-граней
₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₇, ,
35 вершин, 490 рёбер,
3430 граней, 12005 ячеек, 16807 4-граней
₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₈, ,
40 вершин, 640 рёбер,
5120 граней, 20480 ячеек, 32768 4-граней
₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₉, ,
45 вершин, 810 рёбер, 7290 граней, 32805 ячеек, 59049 4-граней
₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₁₀, ,
50 вершин, 1000 рёбер,
10000 граней, 50000 ячеек, 100000 4-граней

Обобщённые пентеракты

Обобщённые пентеракты имеют построение как правильные формы и как призматические , произведение пяти p-угольных 1-многогранников. Элементами являются обобщённые кубы меньшей размерности.

Вещественный {4,3,3,3}, ,
32 вершины, 80 рёбер,
80 граней, 40 ячеек и 10 4-граней
₃{4}₂{3}₂{3}₂{3}₂, ,
243 вершины, 405 рёбер, 270 граней, 90 ячеек и 15 4-граней
₄{4}₂{3}₂{3}₂{3}₂, ,
1024 вершины, 1280 рёбер,
640 граней, 160 ячеек и 20 4-граней
₅{4}₂{3}₂{3}₂{3}₂, ,
3125 вершин, 3125 рёбер,
1250 граней, 250 ячеек и 25 4-граней
₆{4}₂{3}₂{3}₂{3}₂, ,
7776 вершин, 6480 рёбер,
2160 граней, 360 ячеек и 30 4-граней

Перечисление правильных комплексных 6-многогранников

Простран- ство	Группа	Порядок	Многогранник	Вершины	Рёбра	Грани	Ячейки	4-грани	5-грани	Много- угольник ван Осса	Примечания
$\mathbb {R} ^{6}$	G(1,1,6) = [3,3,3,3,3]	720	α₆ = {3,3,3,3,3}	7	21 {}	35 {3}	35 {3,3}	21 {3,3,3}	7 {3,3,3,3}	—	Вещественный 6-симплекс
$\mathbb {R} ^{6}$	G(2,1,6) [3,3,3,4]	46080	$\beta _{6}^{2}=\beta _{6}=\{3,3,3,4\}$	12	60 {}	160 {3}	240 {3,3}	192 {3,3,3}	64 {3,3,3,3}	{4}	Вещественный 6-ортоплекс То же, что и , порядок 23040
$\mathbb {R} ^{6}$	G(2,1,6) [3,3,3,4]	46080	$\gamma _{6}^{2}=\gamma _{6}=\{4,3,3,3\}$	64	192 {}	240 {4}	160 {4,3}	60 {4,3,3}	12 {4,3,3,3}	—	Вещественный гексеракт То же, что и {}⁶ или , порядок 64
$\mathbb {C} ^{6}$	G(p,1,6) ${_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{p}}$	720p⁶	$\beta _{6}^{p}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{p}}$	6p	15p² {}	20p³ {3}	15p⁴ {3,3}	6p⁵ {3,3,3}	p⁶ {3,3,3,3}	${_{2}}\{4\}{_{p}}$	Обобщённый 6-ортоплекс То же, что и , порядок 720p⁵
$\mathbb {C} ^{6}$	G(p,1,6) ${_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{p}}$	720p⁶	$\gamma _{6}^{p}={_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	p⁶	6p⁵ _p{}	15p⁴ _p{4}₂	20p³ ${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	15p² ${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	6p ${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	—	Обобщённый гексеракт То же, что и _p{}⁶ или , порядок p⁶

Визуализация правильных комплексных 6-многогранников

Обобщённые 6-ортоплексы

Обобщённые 6-ортоплексы имеют построение как правильные формы и как квазиправильные формы . Все элемент являются симплексами.

Вещественный {3,3,3,3,4}, ,
12 вершин, 60 рёбер, 160 граней, 240 ячеек, 192 4-грани и 64 5-грани
${_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{3}}$ , ,
18 вершин, 135 рёбер, 540 граней, 1215 ячеек, 1458 4-граней и 729 5-граней
₂{3}₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₄, ,
24 вершины, 240 рёбер, 1280 граней, 3840 ячеек, 6144 4-грани и 4096 5-граней
₂{3}₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₅, ,
30 вершин, 375 рёбер, 2500 граней, 9375 ячеек, 18750 4-граней и 15625 5-граней
₂{3}₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₆, ,
36 вершин, 540 рёбер, 4320 граней, 19440 ячеек, 46656 4-граней и 46656 5-граней
₂{3}₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₇, ,
42 вершины, 735 рёбер, 6860 граней, 36015 ячеек, 100842 4-грани, 117649 5-граней
₂{3}₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₈, ,
48 вершин, 960 рёбер, 10240 граней, 61440 ячеек, 196608 4-граней, 262144 5-грани
₂{3}₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₉, ,
54 вершины, 1215 рёбер, 14580 граней, 98415 ячеек, 354294 4-грани, 531441 5-грань
₂{3}₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₁₀, ,
60 вершин, 1500 рёбер, 20000 граней, 150000 ячеек, 600000 4-граней, 1000000 5-граней

Обобщённые 6-кубы (гексеракты)

Обобщённые 6-кубы имеют построение как правильные формы и призматические формы , произведение шести p-угольных 1-угольников. Элементами являются обобщённые кубы меньших размерностей.

Вещественный {3,3,3,3,3,4}, , 64 вершины, 192 ребра, 240 граней, 160 ячеек, 60 4-граней и 12 5-граней
${_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ , , 729 вершин, 1458 рёбер, 1215 граней, 540 ячеек, 135 4-граней и 18 5-граней
${_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ , , 4096 вершин, 6144 ребра, 3840 граней, 1280 ячеек, 240 4-граней и 24 5-грани
${_{5}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ , , 15625 вершин, 18750 рёбер, 9375 граней, 2500 ячеек, 375 4-граней и 30 5-граней

Перечисление правильных комплексных бесконечногранников

Коксетер перечислил незвёздные правильные комплексные бесконечногранники и соты^[27].

Для каждой размерности существует 12 бесконечногранников с символами $\delta _{n+1}^{p,r}$ существуют в любых размерностях $\mathbb {C} ^{n}$ , или $\mathbb {R} ^{n}$ if p=q=2. Коксетер называл их обобщёнными кубическими сотами для n>^[28].

Каждый имеет пропорциональное число элементов, задаваемое формулами:

k-граней =

{n \choose k}p^{n-k}r^{k}

, где

{n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}

и n! означает факториал числа n.

Правильные комплексные 1-многогранники

Единственным правильным комплексным 1-многогранником является _∞{}, или . Его вещественным представлением служит апейрогон {∞}, или .

Правильные комплексные апейрогоны

Комплексные бесконечноугольники ранга 2 имеют симметрию _p[q]_r, где 1/p + 2/q + 1/r = 1. Коксетер выражает их как $\delta _{2}^{p,r}$ , где q ограничено выражением $q=2/(1-(p+r)/pr)$ ^[29].

Существует 8 решений:

${_{2}}[{\infty }]{_{2}}$	${_{3}}[12]{_{2}}$	${_{4}}[8]{_{2}}$	${_{6}}[6]{_{2}}$	${_{3}}[6]{_{3}}$	${_{6}}[4]{_{3}}$	${_{4}}[4]{_{4}}$	${_{6}}[3]{_{6}}$

Есть два исключённых решения с нечётным q и неравными p и r, это ${_{1}0}[5]{_{2}}$ и ${_{1}2}[3]{_{4}}$ , или .

Правильный комплексный бесконечноугольник ${_{p}}\{q\}{_{r}}$ имеет p-рёберные и q-гональные вершинные фигуры. Двойственный бесконечноугольник тела ${_{p}}\{q\}{_{r}}$ — это ${_{r}}\{q\}{_{p}}$ . Бесконечноугольник вида ${_{p}}\{q\}{_{p}}$ самодвойственен. Группы вида ${_{p}}[2q]{_{2}}$ имеют половину симметрии ${_{p}}[q]{_{p}}$ , так что бесконечноугольник — это то же, что и квазирегулярный многогранник ^[30].

Апейрогоны можно представить на комплексной плоскости четырьмя различными расположениями вершин. Апейрогоны вида ${_{2}}\{q\}{_{r}}$ имеют расположение вершин {q/2,p}, апейрогоны вида ${_{p}}\{q\}{_{2}}$ имеют расположение вершин r{p,q/2}, а апейрогоны вида ${_{p}}\{4\}{_{r}}$ имеют расположение вершин {p,r}.

Если включить аффинные узлы $\mathbb {C} ^{2}$ , добавляется ещё 3 бесконечных решения ${_{\infty }}[2]{_{\infty }},{_{\infty }}[4]{_{2}},{_{\infty }}[3]{_{3}}$ (, и ). Первое решение является подгруппой с индексом 2 второго. Вершины этих бесконечноугольников существует в $\mathbb {C} ^{1}$ .

Ранг 2
Простран ство	Группа	Апейрогон	Ребро	$\mathbb {R} ^{2}$ предст.^[31]	Примечания
$\mathbb {R} ^{1}$	₂[∞]₂ = [∞]	$\delta _{2}^{2,2}=\infty$	{}		Вещественный бесконечноугольник То же, что и
$\mathbb {C} ^{2}$ / $\mathbb {C} ^{1}$	_∞[4]₂	_∞{4}₂	_∞{}	{4,4}	То же, что и
$\mathbb {C} ^{1}$	_∞[3]₃	_∞{3}₃	_∞{}	{3,6}	То же, что и
$\mathbb {C} ^{1}$	_p[q]_r	$\delta _{2}^{p,r}={_{p}}\{q\}{_{r}}$	_p{}
$\mathbb {C} ^{1}$	${_{3}}[12]{_{2}}$	$\delta _{2}^{3,2}={_{3}}\{12\}{_{2}}$	₃{}	r{3,6}	То же, что и
$\mathbb {C} ^{1}$	${_{3}}[12]{_{2}}$	$\delta _{2}^{2,3}={_{2}}\{12\}{_{3}}$	{}	{6,3}
$\mathbb {C} ^{1}$	₃[6]₃	$\delta _{2}^{3,3}={_{3}}\{6\}{_{3}}$	₃{}	{3,6}	То же, что и
$\mathbb {C} ^{1}$	₄[8]₂	$\delta _{2}^{4,2}={_{4}}\{8\}{_{2}}$	₄{}	{4,4}	То же, что и
$\mathbb {C} ^{1}$	₄[8]₂	$\delta _{2}^{2,4}={_{2}}\{8\}{_{4}}$	{}	{4,4}
$\mathbb {C} ^{1}$	₄[4]₄	$\delta _{2}^{4,4}={_{4}}\{4\}{_{4}}$	₄{}	{4,4}	То же, что и
$\mathbb {C} ^{1}$	₆[6]₂	$\delta _{2}^{6,2}={_{6}}\{6\}{_{2}}$	₆{}	r{3,6}	То же, что и
$\mathbb {C} ^{1}$	₆[6]₂	$\delta _{2}^{2,6}={_{2}}\{6\}{_{6}}$	{}	{3,6}
$\mathbb {C} ^{1}$	₆[4]₃	$\delta _{2}^{6,3}={_{6}}\{4\}{_{3}}$	₆{}	{6,3}
$\mathbb {C} ^{1}$	₆[4]₃	$\delta _{2}^{3,6}={_{3}}\{4\}{_{6}}$	₃{}	{3,6}
$\mathbb {C} ^{1}$	₆[3]₆	$\delta _{2}^{6,6}={_{6}}\{3\}{_{6}}$	₆{}	{3,6}	То же, что и

Правильные комплексные бесконечногранники (трёхмерное пространство)

Существует 22 правильных комплексных бесконечногранника вида ${_{p}}\{a\}{_{q}}\{b\}{_{r}}$ . 8 тел самодвойственны (p=r и a=b), а 14 существуют как двойственные пары многогранников. Три из них полностью вещественны (p=q=r=2).

Коксетер дал двенадцати из них символы $\delta _{3}^{p,r}$ (или ${_{p}}\{4\}{_{2}}\{4\}{_{r}}$ ) и они являются правильными видами произведения бесконечногранников $\delta _{2}^{p,r}{\times }\delta _{2}^{p,r}$ или ${_{p}}\{q\}{_{r}}{\times }{_{p}}\{q\}{_{r}}$ , где q вычисляется из p и r.

Многогранники — это то же, что и , так же, как и для p,r=2,3,4,6. Также, = ^[32].

Ранг 3
Простран- ство	Группа	Бесконечно- гранник	Вершины	Рёбра		Грани		Бесконечно- гранник ван Осса	Примечания
$\mathbb {C} ^{3}$	₂[3]₂[4]_∞	_∞{4}₂{3}₂			_∞{}		_∞{4}₂		То же, что и _∞{}×_∞{}×_∞{} или Вещественное представление {4,3,4}^[англ.]^*
$\mathbb {C} ^{2}$	_p[4]₂[4]_r	_p{4}₂{4}_r	p²	2pq	_p{}	r²	_p{4}₂	₂{q}_r	То же, что и , p,r=2,3,4,6
$\mathbb {R} ^{2}$	[4,4]	$\delta _{3}^{2,2}=\{4,4\}$	4	8	{}	4	{4}	{∞}	Вещественная квадратная мозаика То же, что и или или
$\mathbb {C} ^{2}$	₃[4]₂[4]₂ ₃[4]₂[4]₃ ₄[4]₂[4]₂ ₄[4]₂[4]₄ ₆[4]₂[4]₂ ₆[4]₂[4]₃ ₆[4]₂[4]₆	₃{4}₂{4}₂ ₂{4}₂{4}₃ ₃{4}₂{4}₃ ₄{4}₂{4}₂ ₂{4}₂{4}₄ ₄{4}₂{4}₄ ₆{4}₂{4}₂ ₂{4}₂{4}₆ ₆{4}₂{4}₃ ₃{4}₂{4}₆ ₆{4}₂{4}₆	9 4 9 16 4 16 36 4 36 9 36	12 12 18 16 16 32 24 24 36 36 72	₃{} {} ₃{} ₄{} {} ₄{} ₆{} {} ₆{} ₃{} ₆{}	4 9 9 4 16 16 4 36 9 36 36	₃{4}₂ {4} ₃{4}₂ ₄{4}₂ {4} ₄{4}₂ ₆{4}₂ {4} ₆{4}₂ ₃{4}₂ ₆{4}₂	_p{q}_r	То же, что и или или То же, что и То же, что и То же, что и или или То же, что и То же, что и То же, что и или или То же, что и То же, что и То же, что и То же, что и

Простран- ство	Группа	Бесконечногранник	Вершины	Рёбра		Грани		много- угольник ван Осса	Примечания
$\mathbb {C} ^{2}$	₂[4]_r[4]₂	₂{4}_r{4}₂	2		{}	2	_p{4}_2'	₂{4}_r	То же, что и и , r = 2,3,4,6
$\mathbb {R} ^{2}$	[4,4]	{4,4}	2	4	{}	2	{4}	{∞}	То же, что и и
$\mathbb {C} ^{2}$	${_{2}}[4]{_{3}}[4]{_{2}}$ ${_{2}}[4]{_{4}}[4]{_{2}}$ ${_{2}}[4]{_{6}}[4]{_{2}}$	${_{2}}\{4\}{_{3}}\{4\}{_{2}}$ ${_{2}}\{4\}{_{4}}\{4\}{_{2}}$ ${_{2}}\{4\}{_{6}}\{4\}{_{2}}$	2	9 16 36	{}	2	${_{2}}\{4\}{_{3}}$ ${_{2}}\{4\}{_{4}}$ ${_{2}}\{4\}{_{6}}$	${_{2}}\{q\}{_{r}}$	То же, что и и То же, что и и То же, что и и ^[33]

Простран- ство	Группа	Многогранник	Вершины	Рёбра		Грани		бесконечно- угольник ван Осса	Примечания
$\mathbb {R} ^{2}$	₂[6]₂[3]₂ = [6,3]	{3,6}	1	3	{}	2	{3}	{∞}	Вещественная треугольная мозаика
$\mathbb {R} ^{2}$	₂[6]₂[3]₂ = [6,3]	{6,3}	2	3	{}	1	{6}	—	Вещественная шестиугольная мозаика
$\mathbb {C} ^{2}$	₃[4]₃[3]₃	₃{3}₃{4}₃	1	8	₃{}	3	₃{3}₃	₃{4}₆	То же, что и
$\mathbb {C} ^{2}$	₃[4]₃[3]₃	₃{4}₃{3}₃	3	8	₃{}	2	₃{4}₃	₃{12}₂
$\mathbb {C} ^{2}$	₄[3]₄[3]₄	₄{3}₄{3}₄	1	6	₄{}	1	₄{3}₄	₄{4}₄	Самодвойственный, то же, что и
$\mathbb {C} ^{2}$	₄[3]₄[4]₂	₄{3}₄{4}₂	1	12	₄{}	3	₄{3}₄	₂{8}₄	То же, что и
$\mathbb {C} ^{2}$	₄[3]₄[4]₂	₂{4}₄{3}₄	3	12	{}	1	₂{4}₄	₄{4}₄

Правильные комплексные 3-бесконечногранники

Существует 16 правильных комплексных бесконечногранников в $\mathbb {C} ^{3}$ . Коксетер дал двенадцати из них символы $\delta _{3}^{p,r}$ , где q ограничено выражением $q=2/(1-(p+r)/pr)$ . Их можно разложить на произведение бесконечногранников: = . В первом случае имеем кубические соты^[англ.]^* в $\mathbb {R} ^{3}$ .

Ранг 4
Простран- ство	Группа	3-бесконечногранник	Рёбра	Грани	Ячейки	бесконечно- угольники ван Осса	Примечания
$\mathbb {C} ^{3}$	_p[4]₂[3]₂[4]_r	$\delta _{3}^{p,r}={_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{r}}$	_p{}	${_{p}}\{4\}{_{2}}$	${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	${_{p}}\{q\}{_{r}}$	То же, что и
$\mathbb {R} ^{3}$	₂[4]₂[3]₂[4]₂ =[4,3,4]	$\delta _{3}^{2,2}={_{2}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{2}}$	{}	{4}	{4,3}		Кубические соты^[англ.]^* То же, что и или или
$\mathbb {C} ^{3}$	${_{3}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}$	$\delta _{3}^{3,2}={_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{2}}$	₃{}	₃{4}₂	₃{4}₂{3}₂		То же, что и или или
$\mathbb {C} ^{3}$	${_{3}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}$	$\delta _{3}^{2,3}={_{2}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{3}}$	{}	{4}	{4,3}		То же, что и
$\mathbb {C} ^{3}$	${_{3}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{3}}$	$\delta _{3}^{3,3}={_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{3}}$	${_{3}}\{\}$	${_{3}}\{4\}{_{2}}$	${_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$		То же, что и
$\mathbb {C} ^{3}$	${_{4}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}$	$\delta _{3}^{4,2}={_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{2}}$	${_{4}}\{\}$	${_{4}}\{4\}{_{2}}$	${_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$		То же, что и или или
$\mathbb {C} ^{3}$	${_{4}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}$	$\delta _{3}^{2,4}={_{2}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{4}}$	{}	{4}	{4,3}		То же, что и
$\mathbb {C} ^{3}$	${_{4}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{4}}$	$\delta _{3}^{4,4}={_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{4}}$	₄{}	₄{4}₂	₄{4}₂{3}₂		То же, что и
$\mathbb {C} ^{3}$	${_{6}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}$	$\delta _{3}^{6,2}={_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{2}}$	${_{6}}\{\}$	${_{6}}\{4\}{_{2}}$	${_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$		То же, что и или или
$\mathbb {C} ^{3}$	${_{6}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}$	$\delta _{3}^{2,6}={_{2}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{6}}$	{}	{4}	{4,3}		То же, что и
$\mathbb {C} ^{3}$	${_{6}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{3}}$	$\delta _{3}^{6,3}={_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{3}}$	${_{6}}\{\}$	${_{6}}\{4\}{_{2}}$	${_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$		То же, что и
$\mathbb {C} ^{3}$	${_{6}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{3}}$	$\delta _{3}^{3,6}={_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{6}}$	${_{3}}\{\}$	${_{3}}\{4\}{_{2}}$	${_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$		То же, что и
$\mathbb {C} ^{3}$	₆[4]₂[3]₂[4]₆	$\delta _{3}^{6,6}={_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{6}}$	₆{}	${_{6}}\{4\}{_{2}}$	${_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$		То же, что и

Ранг 4, исключительные случаи
Простран- ство	Группа	3-бесконечногранник	Вершины	Рёбра	Грани	Ячейки	бесконечно- угольник ван Осса	Примечания
$\mathbb {C} ^{3}$	${_{2}}[4]{_{3}}[3]{_{3}}[3]{_{3}}$	${_{3}}\{3\}{_{3}}\{3\}{_{3}}\{4\}{_{2}}$	1	24 ${_{3}}\{\}$	27 ${_{3}}\{3\}{_{3}}$	2 ${_{3}}\{3\}{_{3}}\{3\}{_{3}}$	${_{3}}\{4\}{_{6}}$	То же, что и
$\mathbb {C} ^{3}$	${_{2}}[4]{_{3}}[3]{_{3}}[3]{_{3}}$	${_{2}}\{4\}{_{3}}\{3\}{_{3}}\{3\}{_{3}}$	2	27 {}	24 ${_{2}}\{4\}{_{3}}$	1 ${_{2}}\{4\}{_{3}}\{3\}{_{3}}$	${_{2}}\{12\}{_{3}}$
$\mathbb {C} ^{3}$	${_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{3}}[3]{_{3}}$	${_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{3}}\{3\}{_{3}}$	1	27 {}	72 ${_{2}}\{3\}{_{2}}$	8 ${_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{3}}$	${_{2}}\{6\}{_{6}}$
$\mathbb {C} ^{3}$	${_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{3}}[3]{_{3}}$	${_{3}}\{3\}{_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	8	72 ${_{3}}\{\}$	27 ${_{3}}\{3\}{_{3}}$	1 ${_{3}}\{3\}{_{3}}\{4\}{_{2}}$	${_{3}}\{6\}{_{3}}$	То же, что и или

Правильные комплексные 4-бесконечногранники

Существует 15 правильных комплексных бесконечногранников в $\mathbb {C} ^{4}$ . Коксетер дал двенадцати из них символы $\delta _{4}^{p,r}$ , где q ограничено выражением $q=2/(1-(p+r)/pr)$ . Они могут быть разложены в произведение бесконечногранников: = . В первом случае имеем в качестве вещественных решений тессерактовые соты^[англ.]. 16-ячеечные соты^[англ.] и 24-ячеечные соты^[англ.] в $\mathbb {R} ^{4}$ . Последнее решение имеет в качестве элементов многогранники Виттинга^[англ.].

Ранг 5
Простран- ство	Группа	4-бесконечногранник	Вершины	Рёбра	Грани	Ячейки	4-грани	Бесконечно- угольник ван Осса	Примечания
$\mathbb {C} ^{4}$	${_{p}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{r}}$	$\delta _{4}^{p,r}={_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{r}}$		${_{p}}\{\}$	${_{p}}\{4\}{_{2}}$	${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	${_{p}}\{q\}{_{r}}$	То же, что и
$\mathbb {R} ^{4}$	${_{2}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}$	$\delta _{4}^{2,2}=\{4,3,3,3\}$		{}	{4}	{4,3}	{4,3,3}	{∞}	Тессерактовые соты^[англ.] То же, что и
$\mathbb {R} ^{4}$	${_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}$ =[3,4,3,3]	{3,3,4,3}	1	12 {}	32 {3}	24 {3,3}	3 {3,3,4}		Вещественные 16-ячеечные соты^[англ.] То же, что и
$\mathbb {R} ^{4}$	${_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}$ =[3,4,3,3]	{3,4,3,3}	3	24 {}	32 {3}	12 {3,4}	1 {3,4,3}		Вещественные 24-ячеечные соты^[англ.] То же, что и или
$\mathbb {C} ^{4}$	${_{3}}[3]{_{3}}[3]{_{3}}[3]{_{3}}[3]{_{3}}$	${_{3}}\{3\}{_{3}}\{3\}{_{3}}\{3\}{_{3}}\{3\}{_{3}}$	1	80 ${_{3}}\{\}$	270 ${_{3}}\{3\}{_{3}}$	80 ${_{3}}\{3\}{_{3}}\{3\}{_{3}}$	1 ${_{3}}\{3\}{_{3}}\{3\}{_{3}}\{3\}{_{3}}$	${_{3}}\{4\}{_{6}}$	$\mathbb {R} ^{8}$ представление 5₂₁^[англ.]

Правильные комплексные 5-бесконечногранники и выше

Существует только 12 правильных комплексных бесконечногранников в $\mathbb {C} ^{5}$ и выше^[34], которые обозначаются символами $\delta _{n}^{p,r}$ , где q ограничено выражением $q=2/(1-(p+r)/pr)$ . Их можно разложить на произведение n бесконечногранников: … = … . В первом случае имеем гиперкубические соты в $\mathbb {R} ^{n}$ .

Ранг 6
Простран- ство	Группа	5-бесконечногранники	Вершины	Рёбра	Грани	Ячейки	4-грани	5-грани	Много- угольники ван Осса	Примечания
$\mathbb {C} ^{5}$	${_{p}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{r}}$	$\delta _{5}^{p,r}={_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{r}}$		${_{p}}\{\}$	${_{p}}\{4\}{_{2}}$	${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	${_{p}}\{q\}{_{r}}$	То же, что и
$\mathbb {R} ^{5}$	${_{2}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}$ =[4,3,3,3,4]	$\delta _{5}^{2,2}=\{4,3,3,3,4\}$		{}	{4}	{4,3}	{4,3,3}	{4,3,3,3}	{∞}	5-кубические соты^[англ.] То же, что и

Многоугольники ван Осса

Многоугольник ван Осса является правильным многоугольником на плоскости (вещественной плоскости $\mathbb {R} ^{2}$ или комплексной плоскости $\mathbb {C} ^{2}$ ), в которой лежат как рёбра, так и барицентр правильного многогранника, и который образован элементами многогранника. Не все правильные многогранники имеют многоугольники ван Осса.

Например, многоугольники ван Осса вещественного октаэдра — это три квадрата, плоскости которых проходят через центр октаэдра. Для контраста, куб не имеет многоугольников ван Осса, поскольку плоскость от ребра к центру рассекает по диагонали две квадратные грани, так что два ребра куба на полученной плоскости не образуют многоугольника.

Бесконечные соты также имеют многоугольники ван Осса. Например, вещественная квадратная мозаика и треугольная мозаика имеют апейрогоны {∞} в качестве многоугольников ван Осса^[35].

Многоугольник ван Осса правильного комплексного многогранника вида ${_{p}}\{q\}{_{r}}\{s\}{_{t}}$ …, если существует, имеет p-рёбер.

Неправильные комплексные многогранники

Произведение комплексных многогранников

Пример произведения комплексных многогранников
Комплексное произведение многоугольников или $\{\}{\times }{_{5}}\{\}$ , имеет 10 вершин, связанных пятью 2-рёбрами и двумя 5-рёбрами, и имеет представление как 3-мерная пятиугольная призма.	Двойственный многоугольник $\{\}+{_{5}}\{\}$ , имеет 7 вершин, находящихся в середине исходных рёбер, соединённых 10 рёбрами. Его вещественным представлением является пятиугольная бипирамида.

Некоторые комплексные многогранники можно представить как прямое произведение. Эти произведения многогранников не являются строго правильными, поскольку имеют более одного типа фасет, но некоторые могут представить более низкие симметрии правильных форм, если все ортогональные многогранники одинаковы. Например, произведение ${_{p}}\{\}{\times }{_{p}}\{\}$ или двух 1-мерных многогранников является тем же, что и правильный многогранник ${_{p}}\{4\}{_{2}}$ или . Более общие произведения, наподобие ${_{p}}\{\}{\times }{_{q}}\{\}$ имеют вещественные представления как 4-мерные p-q дуопризмы. Двойственный многогранник произведения многогранников можно записать как сумму ${_{p}}\{\}+{_{q}}\{\}$ и он имеет вещественное представление как 4-мерная p-q дуопирамида^[англ.]. Многогранник ${_{p}}\{\}+{_{p}}\{\}$ может иметь симметрию, удвоенную по сравнению с правильным комплексным многогранником ${_{2}}\{4\}{_{p}}$ или .

Аналогично, комплексный многогранник $\mathbb {C} ^{3}$ можно построить как тройное произведение: ${_{p}}\{\}{\times }{_{p}}\{\}{\times }{_{p}}\{\}$ или — то же, что и правильный обобщённый куб, ${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ или , как и произведение ${_{p}}\{4\}{_{2}}{\times }{_{p}}\{\}$ или ^[36].

Квазиправильные многогранники

Квазиправильный многоугольник является усечением правильного многоугольника. Квазиправильный многоугольник содержит чередование рёбер правильных многоугольников и . Квазиправильный многоугольник имеет p вершин на p-рёбрах правильных видов.

Примеры квазиправильных многогранников
_p[q]_r	₂[4]₂	₃[4]₂	₄[4]₂	₅[4]₂	₆[4]₂	₇[4]₂	₈[4]₂	₃[3]₃	₃[4]₃
Правильный	4 2-ребра	9 3-рёбер	16 4-рёбер	25 5-рёбер	36 6-рёбер	49 8-рёбер	64 8-ребра
Квази- правильный	= 4+4 2-рёбер	6 2-рёбер 9 3-рёбер	8 2-рёбер 16 4-рёбер	10 2- рёбер 25 5-рёбер	12 2-рёбер 36 6-рёбер	14 2-рёбер 49 7-рёбер	16 2-рёбер 64 8-рёбер	=	=
Правильный	4 2-ребра	6 2-рёбер	8 2-рёбер	10 2-рёбер	12 2-рёбер	14 2-рёбер	16 2-рёбер

Квазиправильные апейрогоны

Существует 7 квазиправильных комплексных бесконечноугольников, которые чередуют рёбра правильного бесконечноугольника и его двойственного. Расположения вершин^[англ.] этого бесконечноугольника имеют представления с правильными и однородными мозаиками евклидовой плоскости. Последний столбец для 6{3}6 содержит бесконечноугольники, которые не только самодвойственны, но для них двойственный совпадает с собой с наложенными шестиугольными рёбрами, так что их квазирегулярные формы также имеют наложенные шестиугольные рёбра и он не может быть нарисован двумя чередующимися цветами, как в других столбцах. Симметрия самодвойственных семейств может быть удвоена, создавая тем самым идентичную геометрию, как в правильных формах: =

${_{p}}[q]{_{r}}$	${_{4}}[4]{_{4}}$	${_{3}}[6]{_{3}}$	${_{6}}[3]{_{6}}$
Правильный или _p{q}_r
Квазиправильный	=	=	=
Правильный двойственный или _r{q}_p

Квазиправильные многоугольники

Как и в случае вещественных многогранников, комплексный квазиправильный многогранник может быть построен как полное усечение правильного многогранника. Вершины образуются в середине рёбер правильного многогранника, а грани правильного многогранника и их двойственные попеременно располагаются вдоль общих рёбер.

Например, p-обобщённый куб ,
имеет p³ вершин, 3p² рёбер и 3p p-обобщённых квадратных граней, в то время как p-обобщённый октаэдр ,
имеет 3p вершин, 3p² рёбер и p³ треугольных граней. Средняя квазиправильная форма p-обобщённого кубоктаэдра ,
имеет 3p² вершины, 3p³ рёбер и 3p+p³ граней.

Также полное усечение многогранника Гессе^[англ.] — это , квазиправильная форма, разделяющая геометрию правильного комплексного многогранника .

Квазиправильные примеры
Обобщённый куб/октаэдр						Многогранник Гессе^[англ.]
	p=2 (вещ.)	p=3	p=4	p=5	p=6	Многогранник Гессе^[англ.]
Обобщённые кубы (правильный)	Куб, , 8 вершин, 12 2-рёбер и 6 граней.	, 27 вершин, 27 3-рёбер и 9 граней, по одной грани (синяя и красная)	, 64 вершины, 48 4-рёбер и 12 граней.	, 125 вершин, 75 5-рёбер и 15 граней.	, 216 вершин, 108 6-рёбер и 18 граней.	, 27 вершин, 72 6-ребра и 27 граней.
Обобщённый кубоктаэдр (квазиправильный)	Кубооктаэдр , 12 вершин, 24 2-ребра и 6+8 граней.	, 27 вершин, 81 2-ребро и 9+27 граней, одна грань (синяя)	, 48 вершин, 192 2-ребра и 12+64 грани, одна грань (синяя)	, 75 вершин, 375 2-рёбер и 15+125 граней.	, 108 вершин, 648 2-рёбер и 18+216 граней.	= , 72 вершины, 216 3-рёбер и 54 грани.
Обобщённый октаэдр (правильный)	Октаэдр , 6 вершин, 12 2-рёбер и 8 {3} граней.	, 9 вершин, 27 2-рёбер и 27 {3} граней.	, 12 вершин, 48 2-рёбер и 64 {3} грани.	, 15 вершин, 75 2-рёбер и 125 {3} граней.	, 18 вершин, 108 2-рёбер и 216 {3} граней.	, 27 вершин, 72 6-ребра и 27 граней.

Другие комплексные многогранники с комплексными отражениями периода два

Другие неправильные комплексные многогранники могут быть построены с помощью комплексных групп отражений, которые не дают линейных графов Коксетера. В диаграммах Коксетера с петлями Коксетер отмечает период, как в диаграмме или символе $(1_{1}1~1)^{3}$ и группе $[1~1~1]^{3}$ ^[37]^[38]. Эти комплексные многогранники не исследованы систематически за пределами нескольких частных случаев.

Группа определяется 3 комплексными отражениями, $R_{1},R_{2},R_{3}$ , все порядка 2: $R_{1}^{2}=R_{1}^{2}=R_{3}^{2}=(R_{1}R_{2})^{3}=(R_{2}R_{3})^{3}=(R_{3}R_{1})^{3}=(R_{1}R_{2}R_{3}R_{1})^{p}=1$ . Период p можно рассматривать как двойное вращение в вещественном пространстве $\mathbb {R} ^{4}$ .

Как и в случае построений Витхоффа, для многогранников, генерируемых отражениями, число вершин многогранника, имеющего диаграмму Коксетера с одним кружком, равно порядку группы, разделённой на порядок подгруппы, в которой обведённый узел удалён. Например, вещественный куб имеет диаграмму Коксетера , с октаэдральной симметрией^[англ.] порядка 48 и подгруппу диэдральной симметрии порядка 6, так что число вершин куба равно s 48/6=8. Фасеты строятся путём удаления одного узла, самого удалённого от узла с кружком, например для куба. Вершинные фигуры генерируются путём удаления обведённого узла и помещения кружка или кружков на соседние узлы, для куба.

Коксетер представляет эти группы следующими символами. Некоторые группу имеют одинаковый порядок, но различную структуру, определяя то же расположение вершин^[англ.] в комплексных многогранниках, но различные рёбра и элементы более высокой размерности, как в диаграммах и с p≠3^[39]

Группы, генерируемые комплексными отражениями
Диаграмма Коксетера	Порядок	Символ или положение в таблицеVII Шепарда или Тодда (1954)
, ( и ), , …	p^{n − 1} n!, p ≥ 3	$G(p,p,n),[p],[1~1~1]^{p},[1~1(n-2)^{p}]^{3}$
,	72•6!, 108•9!	№ 33, 34, $[1~2~2]^{3}$ , $[1~2~3]^{3}$
, ( и ), ( и )	14•4!, 3•6!, 64•5!	№ 24, 27, 29

Коксетер называет некоторые из этих комплексных многогранников почти правильными, поскольку они имеют правильные фасеты и вершинные фигуры. Первый является вариантом обобщённого кросс-многогранника с меньшей симметрией в $\mathbb {C} ^{3}$ . Второй является дробным обобщённым кубом, в котором p-рёбра сведены в отдельные вершины, оставляя простые 2-рёбра. Три из них связаны с конечным правильным косым многогранником в $\mathbb {R} ^{4}$ .

Некоторые почти правильные комплексные многогранники^[40]
Простран ство	Группа	Порядок	Символы Коксетера	Вершины	Рёбра	Грани	Вершинная фигура	Примечания
$\mathbb {C} ^{3}$	$[1~1~1^{p}]^{3}$ p=2,3,4…	$6p^{2}$	$(1~1~1_{1}^{p})^{3}$	3p	3p²	{3}	{2p}	Символ Шепарда $(1~1;1_{1})^{p}$ то же, что и $\beta _{3}^{p}=$
$\mathbb {C} ^{3}$	$[1~1~1^{p}]^{3}$ p=2,3,4…	$6p^{2}$	$(1_{1}1~1^{p})^{3}$	p²		{3}	{6}	Символ Шепарда $(1_{1}1;1)^{p}$ $1/p\gamma _{3}^{p}$
$\mathbb {R} ^{3}$	$[1~1~1^{2}]^{3}$	24	$(1~1~1_{1}^{2})^{3}$	6	12	8 {3}	{4}	То же, что и $\beta _{3}^{2}=$ = вещественный октаэдр
$\mathbb {R} ^{3}$	$[1~1~1^{2}]^{3}$	24	$(1_{1}1~1^{2})^{3}$	4	6	4 {3}	{3}	1/2 $\gamma _{3}^{2}=$ = $\alpha {_{3}}$ = вещественный тетраэдр
$\mathbb {C} ^{3}$	$[1~1~1]^{3}$	54	$(1~1~1_{1})^{3}$	9	27	{3}	{6}	Символ Шепарда $(1~1;1_{1})^{3}$ то же, что и $\beta _{3}^{3}=$
$\mathbb {C} ^{3}$	$[1~1~1]^{3}$	54	$(1_{1}1~1)^{3}$	9	27	{3}	{6}	Символ Шепарда $(1_{1}1;1)^{3}$ 1/3 $\gamma _{3}^{3}=\beta _{3}^{3}$
$\mathbb {C} ^{3}$	$[1~1~1^{4}]^{3}$	96	$(1~1~1_{1}^{4})^{3}$	12	48	{3}	{8}	Символ Шепарда $(1~1;1_{1})^{4}$ то же, что и $\beta _{3}^{4}=$
$\mathbb {C} ^{3}$	$[1~1~1^{4}]^{3}$	96	$(1_{1}1~1^{4})^{3}$	16		{3}	{6}	Символ Шепарда $(1_{1}1;1)^{4}$ 1/4 $\gamma _{3}^{4}$
$\mathbb {C} ^{3}$	$[1~1~1^{5}]^{3}$	150	$(1~1~1_{1}^{5})^{3}$	15	75	{3}	{10}	Символ Шепарда $(1~1;1_{1})^{5}$ то же, что и $\beta _{3}^{5}=$
$\mathbb {C} ^{3}$	$[1~1~1^{5}]^{3}$	150	$(1_{1}1~1^{5})^{3}$	25		{3}	{6}	Символ Шепарда $(1_{1}1;1)^{5}$ 1/5 $\gamma _{3}^{5}$
$\mathbb {C} ^{3}$	$[1~1~1^{6}]^{3}$	216	$(1~1~1_{1}^{6})^{3}$	18	216	{3}	{12}	Символ Шепарда $(1~1;1_{1})^{6}$ то же, что и $\beta _{3}^{6}=$
$\mathbb {C} ^{3}$	$[1~1~1^{6}]^{3}$	216	$(1_{1}1~1^{6})^{3}$	36		{3}	{6}	Символ Шепарда $(1_{1}1;1)^{6}$ 1/6 $\gamma _{3}^{6}$
$\mathbb {C} ^{3}$	$[1~1~1^{4}]^{4}$	336	$(1~1~1{_{1}}^{4})^{4}$	42	168	112 {3}	{8}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление {3,8\|,4} = {3,8}₈
$\mathbb {C} ^{3}$	$[1~1~1^{4}]^{4}$	336	$(1_{1}1~1^{4})^{4}$	56		{3}	{6}
$\mathbb {C} ^{3}$	$[1~1~1_{5}]^{4}$	2160	$(1~1~1_{1}^{5})^{4}$	216	1080	720 {3}	{10}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление $\{3,10{\mid },4\}=\{3,10\}_{8}$
$\mathbb {C} ^{3}$	$[1~1~1_{5}]^{4}$		$(1_{1}1~1^{5})^{4}$	360		{3}	{6}
$\mathbb {C} ^{3}$	$[1~1~1^{4}]^{5}$		$(1~1~1_{1}^{4})^{5}$	270	1080	720 {3}	{8}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление $\{3,8{\mid },5\}=\{3,8\}_{10}$
$\mathbb {C} ^{3}$	$[1~1~1^{4}]^{5}$		$(1_{1}1~1^{4})^{5}$	360		{3}	{6}

Коксетер определил и другие группы с антиунитарным построением, например, эти три. Первая группа была открыта и нарисована Макмуллен, Питер^[англ.] в 1966^[41]

Некоторые другие почти правильные комплексные многогранники^[40]
Простран ство	Группа	Порядок	Символы Коксетера	Вершины	Рёбра	Грани	Вершинная фигура	Примечания
$\mathbb {C} ^{3}$	$[1~1^{4}1^{4}]^{(3)}$	336	$(1_{1}1^{4}1^{4})^{(3)}$	56	168	84 {4}	{6}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление $\{4,6{\mid },3\}=\{4,6\}_{6}$
$\mathbb {C} ^{3}$	$[1^{5}1^{4}1^{4}]^{(3)}$	2160	$(1_{1}^{5}1^{4}1^{4})^{(3)}$	216	1080	540 {4}	{10}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление $\{4,10{\mid },3\}=\{4,10\}_{6}$
$\mathbb {C} ^{3}$	$[1^{4}1^{5}1^{5}]^{(3)}$	2160	$(1_{1}^{4}1^{5}1^{5})^{(3)}$	270	1080	432 {5}	{8}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление $\{5,8{\mid },3\}=\{5,8\}_{6}$

Некоторые комплексные 4-многогранники^[40]
Простран ство	Группа	Порядок	Символы Коксетера	Вершины	Другие элементы	Ячейки	Примечания
$\mathbb {C} ^{4}$	$[1~1~2^{p}]^{3}$ p=2,3,4…	$24p^{3}$	$(1~1~2_{2}^{p})^{3}$	4p			Шепард $(2_{2}1;1)^{p}$ то же, что и $\beta _{4}^{p}=$
$\mathbb {C} ^{4}$	$[1~1~2^{p}]^{3}$ p=2,3,4…	$24p^{3}$	$(1_{1}1~2^{p})^{3}$	$p^{3}$			Шепард $(2~1;1_{1})^{p}$ $1/p\gamma _{4}^{p}$
$\mathbb {R} ^{4}$	$[1~1~2^{2}]^{3}$ $=[3^{1,1,1}]$	192	$(1~1~2_{2}^{2})^{3}$	8	24 ребра 32 грани	16	$\beta _{4}^{2}=$ , вещественный шестнадцатиячейник
$\mathbb {R} ^{4}$	$[1~1~2^{2}]^{3}$ $=[3^{1,1,1}]$	192	$(1_{1}1~2^{2})^{3}$	8	24 ребра 32 грани	16	1/2 $\gamma _{4}^{2}=$ = $\beta _{4}^{2}$ , вещественный шестнадцатиячейник
$\mathbb {C} ^{4}$	$[1~1~2]^{3}$	648	$(1~1~2_{2})^{3}$	12			Шепард $(2_{2}1;1)^{3}$ то же, что и $\beta _{4}^{3}=$
$\mathbb {C} ^{4}$	$[1~1~2]^{3}$	648	$(1_{1}1~2^{3})^{3}$	27			Шепард $(2~1;1_{1})^{3}$ $1/3\gamma _{4}^{3}$
$\mathbb {C} ^{4}$	$[1~1~2^{4}]^{3}$	1536	$(1~1~2_{2}^{4})^{3}$	16			Шепард $(2_{2}1;1)^{4}$ то же, что и $\beta _{4}^{4}=$
$\mathbb {C} ^{4}$	$[1~1~2^{4}]^{3}$	1536	$(1_{1}1~2^{4})^{3}$	64			Шепард $(2~1;1_{1})^{4}$ $1/4\gamma _{4}^{4}$
$\mathbb {C} ^{4}$	$[1^{4}1~2]^{3}$	7680	$(2_{2}1^{4}1)^{3}$	80			Шепард $(2_{2}1;1)^{4}$
			$(1_{1}^{4}1~2)^{3}$	160			Шепард $(2~1;1_{1})^{4}$
			(1₁ 1⁴ 2)³	320			Шепард $(2~1_{1};1)^{4}$
$\mathbb {C} ^{4}$	$[1~1~2]^{4}$		$(1~1~2_{2})^{4}$	80	640 рёбер 1280 треугольников	640
$\mathbb {C} ^{4}$	$[1~1~2]^{4}$		$(1_{1}1~2)^{4}$	320

Некоторые комплексные 5-многогранники^[40]
Простран ство	Группа	Порядок	Символы Коксетера	Вершины	Примечания
$\mathbb {C} ^{5}$	$[1~1~3^{p}]^{3}$ p=2,3,4…	120p⁴	$(1~1~3_{3}^{p})^{3}$	5p	Шепард $(3_{3}1;1)^{p}$ то же, что и $\beta _{5}^{p}=$
$\mathbb {C} ^{5}$	$[1~1~3^{p}]^{3}$ p=2,3,4…	120p⁴	$(1_{1}1~3^{p})^{3}$	$p^{4}$	Шепард $(3~1;1_{1})^{p}$ 1/p γp 5
$\mathbb {C} ^{5}$	$[2~2~1]^{3}$	51840	$(2~1~2_{2})^{3}$	80	Шепард $(2~1;2_{2})^{3}$
$\mathbb {C} ^{5}$	$[2~2~1]^{3}$	51840	$(2~1_{1}2)^{3}$	432	Шепард $(2~1_{1};2)^{3}$

Некоторые комплексные 6-многогранники^[40]
Простран ство	Группа	Порядок	Символы Коксетера	Вершины	Примечания
$\mathbb {C} ^{6}$	$[1~1~4^{p}]^{3}$ p=2,3,4…	$720p^{5}$	$(1~1~4_{4}^{p})^{3}$	6p	Шепард $(4_{4}1;1)^{p}$ то же, что и $\beta _{6}^{p}=$
$\mathbb {C} ^{6}$	$[1~1~4^{p}]^{3}$ p=2,3,4…	$720p^{5}$	$(1_{1}1~4^{p})^{3}$	$p^{5}$	Шепард $(41;1_{1})^{p}$ $1/p\gamma _{6}^{p}$
$\mathbb {C} ^{6}$	$[1~2~3]^{3}$	39191040	$(2~1~3_{3})^{3}$	756	Шепард $(2~1;3_{3})^{3}$
			$(2_{2}13)^{3}$	4032	Шепард $(2_{2}1;3)^{3}$
			$(2~1_{1}3)^{3}$	54432	Шепард $(2~1_{1};3)^{3}$

Визуализация

$(1~1~1_{1}^{4})^{4}$ , ,
имеет 42 вершин, 168 рёбер и 112 треугольных граней, которые видны на этой 14-угольной проекции.
$(1^{4}1^{4}1_{1})^{(3)}$ , ,
имеет 56 вершин, 168 рёбер и 84 квадратных граней, которые видны на этой 14-угольной проекции.
$(1~1~2_{2})^{4}$ , ,
имеет 80 вершин, 640 рёбер, 1280 треугольных граней и 640 тетраэдральных ячеек, которые видны на этой 20-угольной проекции^[42].

Примечания

↑ Orlik, Reiner, Shepler, 2002, с. 477–492.
↑ Coxeter, 1957, с. 115.
↑ Coxeter, 1991, 11.3 Petrie Polygon, простой h-угольник, образованный орбитой флага ( $O_{0},O_{0}O_{1}$ ) для произведения двух генерирующих отражений любого незвёздного правильного комплексного многоугольника, $p_{1}\{q\}p_{2}$ .
↑ Coxeter, 1991, 11.1 Regular complex polygons, с. 103.
↑ Shephard 1952; «Из соглашений, которые мы используем для определения понятия внутренности многогранника, видим, что в унитарном пространстве, где числа не могут быть упорядочены, понятие внутренности определить невозможно.
Поэтому … нам следует рассматривать унитарные многогранник как конфигурации.»
↑ Coxeter, 1957, с. 96.
↑ Coxeter, 1957, с. 177, Table III.
↑ Coxeter, 1957, с. xiv.
↑ Lehrer, Taylor, 2009, с. 87.
↑ Coxeter, 1957, Table IV. The regular polygons, с. 178—179.
↑ ¹ ² Coxeter, 1957, с. 108.
↑ Coxeter, 1957, с. 109.
↑ Coxeter, 1957, с. 111.
↑ Coxeter, 1957, с. 30, diagram и p. 47 indices for 8 3-рёбер.
↑ ¹ ² Coxeter, 1957, с. 110.
↑ Coxeter, 1957, с. 48.
↑ Coxeter, 1957, с. 49.
↑ Coxeter, 1957, с. 116–140.
↑ Coxeter, 1957, с. 118–119.
↑ Coxeter, 1957, с. 118—119.
↑ Coxeter, 1991, с. 29.
↑ Coxeter, 1957, Table V. The nonstarry regular polyhedra и 4-polytopes, с. 180.
↑ ¹ ² Coxeter, 1957, с. 131.
↑ Coxeter, 1957, с. 126.
↑ Coxeter, 1957, с. 125.
↑ Coxeter, 1957, с. 180.
↑ Coxeter, 1991, Table VI. The regular honeycombs, с. 180.
↑ Coxeter, 1991, с. 174.
↑ Coxeter, 1991, Table VI. The regular honeycombs, с. 111, 136.
↑ Coxeter, 1957, с. 178–179.
↑ Coxeter, 1991, с. 111—112, 11.6 Apeirogons.
↑ Coxeter, 1991, с. 140.
↑ Coxeter, 1957, с. 139—140.
↑ Coxeter, 1991, с. 146.
↑ Coxeter, 1991, с. 141.
↑ Coxeter, 1991, с. 118–119, 138.
↑ Coxeter, 1991, Chapter 14, Almost regular polytopes, с. 156–174.
↑ Coxeter, 1957.
↑ Coxeter, 1966, с. 422—423.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Coxeter, 1957, с. 271, Table III: Some Complex Polytopes.
↑ Coxeter, 1991, 14.6 McMullen's two polyhedral with 84 square грани, с. 166—171.
↑ Coxeter, 1991, с. 172—173.

Литература

Coxeter H.S.M. Groups generated by unitary reflections of period two // Canad. J. Math.. — 1957. — Вып. 9. — С. 243—272.
Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter / сост. F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivić Weiss. — Wiley-Interscience, 1995. — Т. 19. — (Wiley-Interscience and Canadian Mathematics Series of Monographs and Texts). — ISBN 0471010030.
Coxeter. Finite Groups Generated by Unitary Reflections // The Graphical Notation. — 1966. — Вып. 4. — С. 422—423.
Coxeter H.S.M. Regular Complex Polytopes. — 2nd. — Cambridge University Press, 1991. — ISBN 978-0-521-39490-1.
Peter Orlik, Victor Reiner, Anne V. Shepler. The sign representation for Shephard groups // Mathematische Annalen. — 2002. — Март (т. 322, вып. 3). — С. 477–492. — doi:10.1007/s002080200001.
Coxeter, H. S. M. , Moser W. O. J. Generators and Relations for Discrete Groups. — New York: Springer-Verlag, 1980. — С. 67–80. — ISBN 0-387-09212-9.
Coxeter, H. S. M., Shephard, G.C. Portraits of a family of complex polytopes // Leonardo. — 1992. — Т. 25, вып. 3/4. — С. 239–244.
Shephard G.C. Regular complex polytopes // Proc. London math. Soc.. — 1952. — Т. 2. — С. 82–97.
Shephard G. C., Todd J. A. Finite unitary reflection groups // Canadian Journal of Mathematics. — 1954. — Вып. 6. — С. 274—304. (недоступная ссылка)
Gustav I. Lehrer, Donald E. Taylor. Unitary Reflection Groups. — Cambridge University Press, 2009.

Литература для дальнейшего чтения

Peter McMullen, Egon Schulte. Chapter 9 Unitary Groups and Hermitian Forms // Abstract Regular Polytopes. — 1st. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-81496-0.

[_6b9dd95b816fccfe-1] Orlik, Reiner, Shepler, 2002, с. 477–492.

[_b18307c9ea9701fc-2] Coxeter, 1957, с. 115.

[3] Coxeter, 1991, 11.3 Petrie Polygon, простой h-угольник, образованный орбитой флага ( $O_{0},O_{0}O_{1}$ ) для произведения двух генерирующих отражений любого незвёздного правильного комплексного многоугольника, $p_{1}\{q\}p_{2}$ .

[_e0e2c6d3abd8484f-4] Coxeter, 1991, 11.1 Regular complex polygons, с. 103.

[5] Shephard 1952; «Из соглашений, которые мы используем для определения понятия внутренности многогранника, видим, что в унитарном пространстве, где числа не могут быть упорядочены, понятие внутренности определить невозможно.
Поэтому … нам следует рассматривать унитарные многогранник как конфигурации.»

[_c4885e30b8bde60c-6] Coxeter, 1957, с. 96.

[_21794e6a42ca8a47-7] Coxeter, 1957, с. 177, Table III.

[_b0c843c9e9f874fa-8] Coxeter, 1957, с. xiv.

[_c2dd65cd4d39cdd0-9] Lehrer, Taylor, 2009, с. 87.

[_0e5ee063981af761-10] Coxeter, 1957, Table IV. The regular polygons, с. 178—179.

[_b18306c9ea97002e-11] ¹ ² Coxeter, 1957, с. 108.

[_b18306c9ea97002f-12] Coxeter, 1957, с. 109.

[_b18307c9ea9701f8-13] Coxeter, 1957, с. 111.

[_b80fb0ac11e4c126-14] Coxeter, 1957, с. 30, diagram и p. 47 indices for 8 3-рёбер.

[_b18307c9ea9701f9-15] ¹ ² Coxeter, 1957, с. 110.

[_c4885330b8bdd3b1-16] Coxeter, 1957, с. 48.

[_c4885330b8bdd3b0-17] Coxeter, 1957, с. 49.

[_32ad97a2d9bfa709-18] Coxeter, 1957, с. 116–140.

[_6a28819fffd23dad-19] Coxeter, 1957, с. 118–119.

[_84f7e8a00f3dad90-20] Coxeter, 1957, с. 118—119.

[_669a59e30d3b77cc-21] Coxeter, 1991, с. 29.

[_5d22b15f31f9c37b-22] Coxeter, 1957, Table V. The nonstarry regular polyhedra и 4-polytopes, с. 180.

[_b18305c9ea96fe52-23] ¹ ² Coxeter, 1957, с. 131.

[_b18304c9ea96fc86-24] Coxeter, 1957, с. 126.

[_b18304c9ea96fc85-25] Coxeter, 1957, с. 125.

[_b1830ec9ea970d9e-26] Coxeter, 1957, с. 180.

[_84a7f559ff6b771b-27] Coxeter, 1991, Table VI. The regular honeycombs, с. 180.

[_93b48ecf7c044565-28] Coxeter, 1991, с. 174.

[_a2e16208fd5a23b5-29] Coxeter, 1991, Table VI. The regular honeycombs, с. 111, 136.

[_8e9a1120586cf801-30] Coxeter, 1957, с. 178–179.

[_f77a8097a6c29961-31] Coxeter, 1991, с. 111—112, 11.6 Apeirogons.

[_93b48bcf7c044008-32] Coxeter, 1991, с. 140.

[_f2ec8343f288464d-33] Coxeter, 1957, с. 139—140.

[_93b48bcf7c04400e-34] Coxeter, 1991, с. 146.

[_93b48bcf7c044009-35] Coxeter, 1991, с. 141.

[_b35460a03f544dd5-36] Coxeter, 1991, с. 118–119, 138.

[_2b966072e31c3abd-37] Coxeter, 1991, Chapter 14, Almost regular polytopes, с. 156–174.

[_093d6ed5569c86fd-38] Coxeter, 1957.

[_bc26f1580a4c8054-39] Coxeter, 1966, с. 422—423.

[_2e4e0c4653660e41-40] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Coxeter, 1957, с. 271, Table III: Some Complex Polytopes.

[_3f0557e312f46671-41] Coxeter, 1991, 14.6 McMullen's two polyhedral with 84 square грани, с. 166—171.

[_f7d6bdc19bdff182-42] Coxeter, 1991, с. 172—173.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]