Комплексный потенциал

Комплексный потенциал — функция двух переменных $x$ и $y$ , использующаяся в гидродинамике для описания плоского стационарного безвихревого движения несжимаемой жидкости вида $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ . Действительная часть $u(x,y)$ называется потенциальной функцией, мнимая часть $v(x,y)$ называется функцией тока. Линии $u(x,y)={\rm {const}}$ называются эквипотенциальными линиями, или линиями уровня. Линии $v(x,y)={\rm {const}}$ называются линиями тока. Каждая частица жидкости движется по линии тока. Величина скорости течения жидкости равна модулю производной комплексного потенциала $V=|f'(z)|$ . Направление скорости течения жидкости образует с положительным направлением оси $Ox$ угол $\varphi =-\arg f'(z)$ . Пользуясь условиями Коши-Римана, можно из уравнения эквипотенциальных линий восстановить вид комплексного потенциала.

См. также

Потенциальное течение

Литература

Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости.. — 2-е. — М., 1981.

Похожие исследовательские статьи

Энтальпи́я — функция состояния $\text{[math]}$ термодинамической системы, определяемая как сумма внутренней энергии $\text{[math]}$ и произведения давления $\text{[math]}$ на объём $\text{[math]}$ :

\text{[math]}

(Определение энтальпии)

Свобо́дная эне́ргия Ги́ббса — это величина, изменение которой в ходе химической реакции равно изменению внутренней энергии системы. Энергия Гиббса показывает, какая часть от полной внутренней энергии системы может быть использована для химических превращений или получена в их результате в заданных условиях и позволяет установить принципиальную возможность протекания химической реакции в заданных условиях. Математически это термодинамический потенциал следующего вида:

\text{[math]}

Ко́мпле́ксные чи́сла — числа вида $\text{[math]}$ где $\text{[math]}$ — вещественные числа, $\text{[math]}$ — мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство: $\text{[math]}$ Множество комплексных чисел обычно обозначается символом $\text{[math]}$ Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид $\text{[math]}$ Главное свойство $\text{[math]}$ — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен $\text{[math]}$ -й степени имеет $\text{[math]}$ корней. Доказано, что система комплексных чисел логически непротиворечива.

Градие́нт — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего роста некоторой скалярной величины $\text{[math]}$ .

<span class="mw-page-title-main">Векторное поле</span> отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит вектор в соответствие с направлением этой точки

Ве́кторное по́ле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке. Например, вектор скорости ветра в данный момент времени различен в разных точках и может быть описан векторным полем.

Уравне́ние Шрёдингера — линейное дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее изменение в пространстве и во времени чистого состояния, задаваемого волновой функцией, в гамильтоновых квантовых системах.

Ро́тор, рота́ция или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.

Ко́мпле́ксный ана́лиз, тео́рия фу́нкций ко́мпле́ксного переме́нного — раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.

<span class="mw-page-title-main">Закон Бернулли</span> физический закон, связывающий давление и скорость в текущей жидкости

Зако́н Берну́лли устанавливает зависимость между скоростью стационарного потока жидкости и её давлением. Согласно этому закону, если вдоль линии тока давление жидкости повышается, то скорость течения убывает, и наоборот. Количественное выражение закона в виде интеграла Бернулли является результатом интегрирования уравнений гидродинамики идеальной жидкости.

<span class="mw-page-title-main">Условия Коши — Римана</span>

Условия Коши — Римана, называемые также условиями Даламбера — Эйлера, — соотношения, связывающие вещественную $\text{[math]}$ и мнимую $\text{[math]}$ части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного $\text{[math]}$ .

Голоморфная функция, иногда называемая регулярной функцией — функция комплексного переменного, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости $\text{[math]}$ и комплексно дифференцируемая в каждой точке.

Лагранжиа́н, фу́нкция Лагра́нжа $\text{[math]}$ динамической системы, является функцией обобщённых координат $\text{[math]}$ и описывает развитие системы. Например, уравнения движения в этом подходе получаются из принципа наименьшего действия, записываемого как

\text{[math]}

Волново́е число́ — быстрота роста фазы волны $\text{[math]}$ по координате в пространстве:

\text{[math]}

Дифференциа́льное уравне́ние в ча́стных произво́дных — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.

Уравнение Лапласа — дифференциальное уравнение в частных производных. В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так:

\text{[math]}

Скалярное поле на некотором конечномерном пространстве $\text{[math]}$ — функция, ставящая в соответствие каждой точке из некоторой области этого пространства скаляр, то есть действительное или комплексное число. При фиксированном базисе пространства скалярное поле можно представить как функцию нескольких переменных, являющихся координатами точки.

Вектор-функция — функция, значениями которой являются векторы в векторном пространстве $\text{[math]}$ двух, трёх или более измерений. Аргументами функции могут быть:

одна скалярная переменная — тогда значения вектор-функции определяют в $\text{[math]}$ некоторую кривую;
m скалярных переменных — тогда значения вектор-функции образуют в $\text{[math]}$ , вообще говоря, m-мерную поверхность;
векторная переменная — в этом случае вектор-функцию обычно рассматривают как векторное поле на $\text{[math]}$ .

Действие в физике — скалярная физическая величина, являющаяся мерой движения физической системы. Действие является математическим функционалом, который берёт в качестве аргумента траекторию движения физической системы и возвращает в качестве результата вещественное число.

Потенциа́льное тече́ние — безвихревое движение жидкости или газа, при котором деформация и перемещение малого объёма жидкости происходит без вращения (вихря). При потенциальном течении скорость жидкости может быть представлена следующим образом:

\text{[math]}

Динамика точки — раздел динамики, изучающий причины изменения движения материальных точек, то есть тел, характерными размерами которых на масштабах размеров задачи можно пренебречь.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.