Конгруэнтное число

Конгруэ́нтное число — натуральное число, равное площади прямоугольного треугольника со сторонами, длины которых выражаются рациональными числами^[1]. Более общее определение включает все положительные рациональные числа с этим свойством^[2].

Конгруэнтные числа образуют последовательность

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52… (последовательность A003273 в OEIS)

Например, 5 является конгруэнтным числом, поскольку оно является площадью треугольника со сторонами 20/3, 3/2 и 41/6. Таким же образом, число 6 является конгруэнтным, поскольку оно является площадью треугольника со сторонами 3,4 и 5. 3 не является конгруэнтным.

Если q является конгруэнтным числом, то s²q тоже является конгруэнтным для некоторого числа s (просто умножим каждую сторону треугольника на s), обратное тоже верно. Это приводит к наблюдению, что является ли ненулевое рациональное число q конгруэнтным числом, зависит только от его смежного класса в группе

${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}/\mathbb {Q} ^{*2}}$.

Любой смежный класс в этой группе содержит в точности одно свободное от квадратов число, поэтому, когда говорят о конгруэнтных числах, имеют в виду только свободные от квадратов положительные целые числа.

Площадь прямоугольного треугольника через катеты выражается так:

${\displaystyle S=ab/2}$

Требование прямоугольности треугольника выражается так:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

где a, b — катеты треугольника, c — его гипотенуза. Задача определения, является ли натуральное число S конгруэнтным, сводится к поиску рационального решения этой системы уравнений.

Задача определения, является ли данное целое число конгруэнтным, носит имя задача о конгруэнтном числе. Задача (к 2012) пока не решена. Теорема Таннела^[англ.] даёт простой критерий проверки для определения, является ли число конгруэнтным, но этот результат основывается на гипотезе Бёрча — Свиннертон-Дайера, которая не доказана.

Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике, названная в честь Пьера Ферма, утверждает, что никакое квадратное число не может быть конгруэнтным. Однако, в виде утверждения, что любая разность (шаг) между последовательными членами арифметической прогрессии квадратов не является полным квадратом, этот факт был уже известен (без доказательства) Фибоначчи^[4]. Любой такой шаг прогрессии является конгруэнтным числом, и любое конгруэнтное число является произведением шага прогрессии на квадрат рационального числа^[5]. Однако определение, является ли число шагом прогрессии квадратов, является существенно более простой задачей, поскольку существует параметрическая формула, в которой необходимо проверить лишь конечное число значений параметров^[6].

Вопрос, является ли данное число конгруэнтным, оказывается эквивалентен условию, что некоторая эллиптическая кривая имеет положительный ранг^[2]. Альтернативный подход к идее представлен ниже (и может быть найден во введении в работе Таннела).

Предположим, что a,b и c — числа (не обязательно положительные или рациональны), которые удовлетворяют следующим условиям:

${\displaystyle {\begin{matrix}a^{2}+b^{2}&=&c^{2}\\{\tfrac {1}{2}}ab&=&n.\end{matrix}}}$

Положим x = n(a+c)/b и y = 2n²(a+c)/b². Получим

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-n^{2}x}$

и y не равен 0 (если y = 0, то a = -c, так что b = 0, но (1/2)ab = n нулю не равно, противоречие).

Обратно, если x и y являются числами, удовлетворяющими уравнениям выше, и y не равен 0, положим a = (x² — n²)/y, b = 2nx/y, и c = (x² + n²)/y. Вычисления показывают, что эти три числа удовлетворяют двум уравнениям выше.

Соответствие между (a,b,c) и (x,y) обратимо, так что мы имеем взаимно-однозначное соответствие между решениями этих двух уравнений для a, b и c и решениями для x и y, где y не равен нулю. В частности, из формул для a, b и c следует, что для рационального n числа a, b и c рациональны тогда и только тогда, когда соответствующие x и y рациональны, и наоборот. (Мы также получаем, что a, b и c положительны тогда и только тогда, когда x и y положительны. Из уравнения y² = x³ — xn² = x(x² — n²) заметим, что если x и y положительны, то x² — n² должно быть положительно, так что формула выше для a даст положительное число.)

Таким образом, положительное рациональное число n конгруэнтно тогда и только тогда, когда y² = x³ — n²x имеет рациональную точку^[англ.] с неравным нулю y. Можно показать (как изящное следствие теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии), что только точки кручения этой эллиптической кривой имеют y, равное 0, откуда следует, что существование рациональных точек с ненулевым y эквивалентно утверждению, что эллиптическая кривая имеет положительный ранг.

Множество работ посвящено классификации конгруэнтных чисел.

Например, известно^[7], что для простого числа p выполняется следующее:

• если p ≡ 3 (mod 8), то p не является конгруэнтным, но 2p является.
• если p ≡ 5 (mod 8), то p является конгруэнтным.
• если p ≡ 7 (mod 8), то p и 2p конгруэнтны.

Также известно^[8], что в каждом из классов вычетов 5, 6, 7 (mod 8) и любого заданного k имеется бесконечно много свободных от нулей конгруэнтных чисел с k простыми множителями.

• Пифагоровы числа

• Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. — М.: Мир, 1988.
• Острик В. В., Цфасман М. А. Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые. — М.: МЦНМО, 2010. — 48 с. — (Библиотека «Математическое освещение»). — ISBN 5-900916-71-5.
• Стюарт, Иэн. Диофантовы мечты . Гипотеза Берча — Свиннертон-Дайера // Величайшие математические задачи. — М.: <Альпина нон-фикшн>, 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1.
• Чистяков И. И. О рациональных треугольниках // Математическое Просвещение. — М.—Л.: ОНТИ, 1934. — Вып. 1. — С. 10—16.
• Silverberg, Alice. Open Questions in Arithmetic Algebraic Geometry (PostScript). — Короткое обсуждение состояния проблемы и много ссылок.
• Richard Guy. Unsolved Problems in Number Theory. — 2004. — ISBN 0-387-20860-7. — Много ссылок.
• Leonard Eugene Dickson. History of the Theory of Numbers. — Т. II. — ISBN 0-8218-1935-6. — История проблемы.
• Ronald Alter. The Congruent Number Problem // American Mathematical Monthly. — Mathematical Association of America, 1980. — Т. 87, вып. 1. — С. 43—45. — doi:10.2307/2320381. — JSTOR 2320381.
• Chandrasekar V. The Congruent Number Problem // Resonance. — 1998. — Т. 3, вып. 8. — С. 33—45. — doi:10.1007/BF02837344.
• Jerrold B. Tunnell. A classical Diophantine problem and modular forms of weight 3/2 // Inventiones Mathematicae. — 1983. — Т. 72, вып. 2. — С. 323—334. — doi:10.1007/BF01389327.

• Вычислены все конгруэнтные числа до триллиона
• A Trillion Triangles — mathematicians have resolved the first one trillion cases (conditional on the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture).
• Weisstein, Eric W. Congruent Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.