Конечное топологическое пространство

Конечное топологическое пространство — топологическое пространство, в котором существует лишь конечное число точек.

Несмотря на то, что топология в основном рассматривает бесконечные пространства, конечные топологические пространства часто используются, как примеры и контрпримеры. Уильям Терстон назвал конечные топологические пространства «чудаковатой темой, ведущей к пониманию многих вопросов».^[1]

Топологию на конечном множестве можно определить с помощью частичного порядка

${\displaystyle x\leq y\iff x\in {\overline {\{y\}}}}$,

где ${\displaystyle {\overline {S}}}$ обозначает замыкание множества ${\displaystyle S}$.

Обратно, по любому частичному порядку на конечном множестве можно построить единственную топологию, определяемую этим свойством.

Для определения частичного порядка удобно использовать ориентированный граф, где вершины - это точки пространства, а существование восходящего пути из ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle y}$ соответствует отношению ${\displaystyle x\leq y}$.

• Связное двоеточие.
• Псевдоокружность — четырёхточечное пространство, задаваемое частичным порядком

  ${\displaystyle a\leq b,c\leq b,c\leq d,a\leq d}$.

  • Слабо гомотопически эквивалентно окружности.
    • В частности, её фундаментальная группа изоморфна ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

• Особенным свойством топологических пространств является то, что замкнутые множества также определяют топологию. Эту новую топологию можно получить обращением частичного порядка, или, что то же самое, обращением ориентации всех рёбер соответствующего графа.

• Каждое конечное топологическое пространство является компактным.

• Конечное Т₁-пространство Т₁ дискретно.
  • В частности, любое конечное хаусдорфово пространство дискретно.

• Любое связное конечное топологическое пространство линейно связно.

• Для любого конечного абстрактного симплициального комплекса существует слабо гомотопически эквивалентное ему конечное топологическое пространство.^[2]
  • Обратное также верно: для любого конечного топологического пространства существует слабо гомотопически эквивалентный ему конечный симплициальный комплекс.

• В таблице ниже перечислены число различных топологий на множестве С из n элементов. Она также отображает количество неэквивалентных (то есть негомеоморфных) топологий. Не существует простой формулы для вычисления этих чисел; в энциклопедии целочисленных последовательностей в настоящее время списки доходят до ${\displaystyle n=18}$.

• Число ${\displaystyle T_{0}(n)}$ всех Т₀-топологий на множестве из n точек и число ${\displaystyle T_{0}(n)}$ всех топологий связанy формулой

  ${\displaystyle T(n)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)\,T_{0}(k)}$

где ${\displaystyle S(n,k)}$ обозначает число Стирлинга второго рода.

• Конечные геометрии
• Конечное метрическое пространство
• Топологическая комбинаторика

• Stong, Robert E. Finite topological spaces (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 1966. — Vol. 123. — P. 325—340. — doi:10.2307/1994660.

• Singular homology groups and homotopy groups of finite topological spaces, Michael C. McCord, Duke Math. J. Volume 33, Number 3 (1966), 465-474.
• Barmak, Jonathan. Algebraic Topology of Finite Topological Spaces and Applications (англ.). — Springer^[англ.], 2011. — ISBN 978-3-642-22002-9.
• Merrifield, Richard; Simmons, Howard E. Topological Methods in Chemistry (неопр.). — Wiley, 1989. — ISBN 978-0-471-83817-3.