Константа Шешадри

Константа Шешадри — это инвариант обильного линейного расслоения L в точке P на алгебраическом многообразии. Константу ввёл Жан-Пьер Демайи для измерения некоторой скорости роста тензорных степеней расслоения L в терминах струй секций^[англ.] расслоения L^k. Объект являлся предметом рассмотрения в гипотезе Фудзиты^[англ.].

Константа названа в честь индийского математика К. С. Шешадри.

Известно, что гипотеза Нагаты об алгебраических кривых эквивалентна утверждению, что для более чем девяти точек в общем положении константы Шешадри проективной плоскости максимальны. Имеется общая гипотеза для алгебраических поверхностей, гипотеза Нагаты — Бирана^[англ.].

Утверждение

Пусть ${X}$ — гладкое проективное многообразие, ${L}$ — обильное линейное расслоение на нём, ${x}$ — точка на ${X}$ , ${{\mathcal {C}}_{x}}$ = {все приводимые кривые, проходящие через точку ${x}$ }.

${\epsilon (L,x):={\underset {C\in {\mathcal {C}}_{x}}{\inf }}{\frac {L\cdot C}{mult_{x}(C)}}}$ .

Здесь, ${L\cdot C}$ обозначает индекс пересечения расслоения ${L}$ и ${C}$ , ${mult_{x}(C)}$ отражает, сколько раз ${C}$ проходит через точку ${x}$ .

Определение. Говорят, что ${\epsilon (L,x)}$ является константой Шешадри расслоения ${L}$ в точке ${x}$ .

Комментарии к определению. Легко видеть, что ${\epsilon (L,x)}$ является вещественным числом.

Фактически, если ${X}$ является абелевым многообразием, можно показать, что ${\epsilon (L,x)}$ не зависит от выбора точки. Таким образом, в данной ситуации можно опустить точку x и записать просто ${\epsilon (L)}$ .

Примечания

Литература

Robert Lazarsfeld. Positivity in Algebraic Geometry I - Classical Setting: Line Bundles and Linear Series. — Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2004. — С. 269–270.
Thomas Bauer, Felix Fritz Grimm, Maximalian Schmidt. On the Ingegrality of Seshadri Constants of Abelian Surfaces. — arXiv:1805.05413.

Похожие исследовательские статьи

Ко́мпле́ксная пло́скость — геометрическое представление множества комплексных чисел $\text{[math]}$ .

Алгебраическая кривая, или плоская алгебраическая кривая, — это геометрическое место (множество) точек на плоскости (O;x,y), которое определяется как множество нулей многочлена от двух переменных. Степенью (или порядком) n этой кривой называется степень этого многочлена. Алгебраические кривые степеней n = 1, 2, 3, …, 8 кратко называются прямыми, кониками, кубиками, квартиками, пентиками, секстиками, септиками, октиками соответственно. Например, единичная окружность — это алгебраическая кривая степени 2 (коника), так как она задаётся уравнением x² + y² − 1 = 0.

Схе́ма — математическая абстракция, позволяющая связать алгебраическую геометрию, коммутативную алгебру и дифференциальную геометрию и переносить идеи из одной области в другую. В первую очередь понятие схемы позволяет перенести геометрическую интуицию и геометрические конструкции, такие как тензорные поля, расслоения и дифференциалы, в теорию колец. Исторически теория схем возникла с целью обобщения и упрощения классической алгебраической геометрии итальянской школы XIX века, занимавшейся исследованием полиномиальных уравнений.

Фёдор Алексеевич Богомолов — советский и американский математик, известный своими работами по алгебраической геометрии и теории чисел.

Алгебраическая поверхность — это алгебраическое многообразие размерности два. В случае геометрии над полем комплексных чисел алгебраическая поверхность имеет комплексную размерность два, а потому имеет размерность четыре как гладкое многообразие.

В алгебраической геометрии дивизоры являются обобщением подмногообразий некоторого алгебраического многообразия коразмерности 1. Существуют два различных таких обобщения — дивизоры Вейля и дивизоры Картье, эти понятия эквивалентны в случае многообразий без особенностей.

Филинг-радиус — метрическая характеристика Риманова многообразия.

<span class="mw-page-title-main">Бирациональная геометрия</span>

Бирациональная геометрия — это раздел алгебраической геометрии, основной задачей которого является классификация алгебраических многообразий с точностью до бирациональной эквивалентности. Это сводится к изучению отображений, которые задаются рациональными функциями, а не многочленами. Отображение может быть не определено в некоторых точках, являющихся полюсами рациональной функции.

Пространство модулей в алгебраической геометрии — это геометрическое пространство, точки которого соответствуют некоторому классу алгебро-геометрических объектов $\text{[math]}$ , факторизованному по некоторому отношению эквивалентности $\text{[math]}$ . Такие пространства часто возникают как решения классификационных задач: если множество интересующих нас объектов, может быть снабжено структурой геометрического пространства, то можно параметризовать данные объекты, введя координаты на этом пространстве. В данном контексте термин «модули» синонимичен термину «параметры»: пространства модулей первоначально понимались как пространства параметров, а не пространства объектов.

Когерентные пучки — класс пучков, тесно связанных с геометрическими свойствами пространства-носителя. В определении когерентного пучка используется пучок колец, который хранит эту геометрическую информацию.

<span class="mw-page-title-main">Раздутие</span>

Разду́тие — операция в алгебраической геометрии. В простейшем случае оно, грубо говоря, состоит в замене точки на множество всех прямых, проходящих через неё.

Геометрический род — это базовый бирациональный инвариант p_g алгебраических многообразий и комплексных многообразий.

Классы Чженя — это характеристические классы, ассоциированные с комплексными векторными расслоениями.

Точная последовательность Эйлера — это определённая точная последовательность пучков на n-мерном проективном пространстве над кольцом. Она показывает, что кокасательное расслоение проективного пространства стабильно изоморфно (n + 1)-кратной сумме тавтологических расслоений $\text{[math]}$ (см. скручивающий пучок Серра).

Теорема Римана — Роха связывает комплексный анализ связных компактных римановых поверхностей с чисто топологическим родом поверхности g, используя методы, которые могут быть распространены на чисто алгебраические ситуации.

Оккамово обучение в теории вычислительного обучения является моделью алгоритмического обучения, где целью обучения является получение сжатого представления имеющихся тренировочных данных. Метод тесно связан с почти корректным обучением, где учитель оценивает прогнозирующую способность тестового набора.

K-теория — математическая теория, изучающая кольца, порождённые векторными расслоениями над топологическими пространствами или схемами. В алгебраической топологии эта обобщённая теория когомологий называется топологической K-теорией. В алгебре и алгебраической геометрии соответствующий раздел называется алгебраической K-теорией. Также она играет важную роль в операторных алгебрах и её можно рассматривать как теорию определенных видов инвариантов больших матриц.

K3-поверхность — связная односвязная компактная комплексная поверхность, допускающая нигде не вырожденную голоморфную дифференциальную форму степени два. В алгебраической геометрии, где рассматриваются многообразия над полями иными, нежели комплексные числа, K3-поверхностью называется алгебраическая поверхность с тривиальным каноническим расслоением, не допускающая алгебраических 1-форм.

Характеристические классы — это далеко идущее обобщение таких количественных понятий элементарной геометрии, как степень плоской алгебраической кривой или сумма индексов особых точек векторного поля на поверхности. Более подробно они описаны в соответствующей статье. Теория Черна — Вейля позволяет представлять некоторые характеристические классы как выражения от кривизны.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.