Континуанта

Континуанта — определённый многочлен от нескольких переменных, связанный с цепными дробями.

Континуанта индекса n есть многочлен ${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})}$, определяемый рекуррентным соотношением:

${\displaystyle K_{-1}=0,\qquad K_{0}=1,}$

${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})=x_{n}K_{n-1}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n-1})+K_{n-2}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n-2}).}$

Континуанта может быть также определена как определитель трёхдиагональной матрицы

${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=\det {\begin{pmatrix}x_{1}&1&0&\cdots &0\\-1&x_{2}&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&x_{n}\end{pmatrix}}.}$

• Континуанта ${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})}$ есть сумма всех одночленов, получаемых из одночлена ${\displaystyle x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}}$ вычеркиванием всевозможных непересекающих пар соседних переменных (правило Эйлера).
  • Пример:

    ${\displaystyle K_{5}(x_{1},\;x_{2},\;x_{3},\;x_{4},\;x_{5})=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5}\;+\;x_{3}x_{4}x_{5}\;+\;x_{1}x_{4}x_{5}\;+\;x_{1}x_{2}x_{5}\;+\;x_{1}x_{2}x_{3}\;+\;x_{1}\;+\;x_{3}\;+\;x_{5}.}$

  • Следствие:

    Континуанты обладают зеркальной симметрией: ${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})=K_{n}(x_{n},\;\ldots ,\;x_{1}).}$

• ${\displaystyle K_{n}(1,\;\ldots ,\;1)=F_{n+1}}$ — число Фибоначчи.
• Справедливо тождество:

  ${\displaystyle {\frac {K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}}=x_{1}+{\frac {K_{n-2}(x_{3},\;\ldots ,\;x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}}}$

• В поле рациональных дробей

  ${\displaystyle {\frac {K_{n}(x_{1},\;\ldots ,x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}}=[x_{1};\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n}]=x_{1}+{\frac {1}{\displaystyle {x_{2}+{\frac {1}{x_{3}+\ldots }}}}}}$ — цепная дробь.

• Справедливо матричное соотношение:

  ${\displaystyle {\begin{pmatrix}K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})&K_{n-1}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n-1})\\K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})&K_{n-2}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-1})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&1\\1&0\end{pmatrix}}\times \ldots \times {\begin{pmatrix}x_{n}&1\\1&0\end{pmatrix}}}$.

  • Откуда для определителей получается тождество:

    ${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\cdot K_{n-2}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-1})-K_{n-1}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n-1})\cdot K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=(-1)^{n}.}$

  • А также:

    ${\displaystyle K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})\cdot K_{n+2}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n+2})-K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\cdot K_{n+1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n+2})=(-1)^{n+1}x_{n+2}.}$

• Сизый С. В. Лекции по теории чисел. — Учебное пособие для математических специальностей. — Екатеринбург: Уральский государственный университет им. А. М. Горького, 1999.
• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — ISBN 5-02-014727-3.