Конфигурация Паппа

Перейти к навигацииПерейти к поиску
Конфигурация Паппа

Конфигурация Паппа — конфигурация девяти точек и девяти прямых на евклидовой плоскости, по три точки на прямой и через каждую точку проходят три прямые[1].

Конфигурация названа в честь Паппа Александрийского. Теорема Паппа утверждает, что любые две тройки коллинеарных точек (точек, лежащих на одной прямой) ABC и abc (ни одна из которых не лежит на пересечении этих двух прямых) можно дополнить до конфигурации Паппа путём добавления шести прямых Ab, aB, Ac, aC, Bc, и bC и трёх точек, лежащих на пересечении этих прямых, X = Ab•aB, Y = Ac•aC и Z = Bc•bC. Эти три точки являются точками пересечений «противоположных» сторон шестиугольника AbCaBc. Согласно теореме Паппа, получившаяся система девяти точек и восьми прямых всегда содержит три точки пересечения X, Y и Z, называемые прямой Паппа[2].

Граф Паппа

Граф Леви конфигурации Паппа известен как граф Паппа. Это двудольный симметричный кубический граф с 18 вершинами и 27 рёбрами[3].

Конфигурация Паппа из треугольников XcC и YbB, находящихся в перспективе (перспектива треугольников — когда прямые, проведённые через вершины треугольников, пересекаются в одной точке)

Конфигурацию Паппа можно также получить из двух треугольников XcC и YbB, находящихся в перспективе друг другу (три прямые, проходящие через соответствующие пары точек, пересекаются в одной точке) тремя различными способами, если включить три центра перспективы Z, a and A. Точки конфигурации — это вершины треугольников и центры перспектив, а прямые конфигурации — это прямые, проходящие через пары точек, принадлежащих разным треугольникам. Конфигурация Дезарга может быть также определена в терминах перспективы треугольников, а конфигурацию Рейе можно определить аналогичным образом через два тетраэдра, находящихся в перспективе друг к другу четырьмя различными способами и образующих сцепленную систему[англ.] тетраэдров.

Для любой невырожденной кубики (плоской алгебраической кривой 3-го порядка) на евклидовой плоскости, трёх вещественных точек перегиба кривой и четвёртой точки на кривой существует единственный способ дополнить эти четыре точки, чтобы получить конфигурацию Паппа, в которой все девять точек будут лежать на кривой[4].

Ссылки

  1. ↑ Grünbaum, 2009.
  2. ↑ Grünbaum, 2009, p. 9.
  3. ↑ Grünbaum, 2009, p. 28.
  4. ↑ N. S. Mendelsohn, R. Padmanabhan, Barry Wolk. Combinatorial Design Theory / Charles J. Colbourn, R. A. Mathon. — Elsevier, 1987. — Т. 34. — С. 371–378. — (Annals of Discrete Mathematics). — ISBN 9780444703286. — doi:10.1016/S0304-0208(08)72903-7..

Branko Grünbaum. Configurations of points and lines. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2009. — Т. 103. — С. xiv+399. — (Graduate Studies in Mathematics). — ISBN 978-0-8218-4308-6.

Внешние ссылки